속박전류밀도와 자화된 물체가 만드는 벡터 전위 자기장

속박전류밀도와 자화된 물체가 만드는 벡터 전위 자기장

vector potential and magneticfield by magnetized object bound current

설명1

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외부 자기장에 의해 자화된 물체가 있다고 하자. 이 물체는 자화밀도 $\mathbf{M}$을 가질 것이고 이 자화밀도에 의해 새로운 자기장이 생길 것이다. 하나의 자기 쌍극자가 만드는 벡터 전위는 다음과 같다.

$$ \mathbf{A} (\mathbf{r}) = \dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{\mathbf{m} \times \hat{\boldsymbol{\eta}} }{\eta ^2} $$

자화밀도는 단위부피당 쌍극자 모멘트이므로 $\mathbf{M}=\dfrac{\mathbf{m}}{d\tau}$이다. 이를 위 식에 대입하고 전체 부피에 대해서 적분해서 자화된 물체가 만드는 벡터 전위를 구하면 다음과 같다.

$$ \mathbf{A} (\mathbf{r}) = \dfrac{\mu_0}{4\pi} \int\dfrac{ \mathbf{M}(\mathbf{r}^{\prime}) \times \hat{\boldsymbol{\eta}} }{\eta ^2} d \tau^{\prime} $$

이때 분리벡터의 기울기는 $\nabla^{\prime} \dfrac{1}{\eta} = \dfrac{\hat{\boldsymbol{\eta}}}{\eta^2}$이므로

$$ \mathbf{A} (\mathbf{r}) = \dfrac{\mu_0}{4\pi} \int \mathbf{M}(\mathbf{r}^{\prime}) \times \nabla^{\prime}\dfrac{1}{\eta} d \tau^{\prime} $$

델 연산자가 포함된 곱셈규칙

$$ \nabla \times (f \mathbf{A})=(\nabla f)\times \mathbf{A} + f(\nabla \times A) \implies \mathbf{A} \times (\nabla f) = f(\nabla \times \mathbf{A}) -\nabla \times ( f\mathbf{A}) $$

적분 안의 외적에 곱셈규칙을 적용하면 다음을 얻는다.

$$ \mathbf{A} (\mathbf{r}) = \dfrac{\mu_0}{4\pi} \left[ \int \frac{1}{\eta}\left[\nabla^{\prime} \times \mathbf{M} (\mathbf{r}^{\prime}) \right] d \tau^{\prime} - \int \nabla^{\prime} \times \dfrac{\mathbf{M}(\mathbf{r^{\prime}})}{\eta}d \tau^{\prime}\right] $$

이다. 여기서 두번째 항을 바꿔주기 위해 가우스 정리를 사용한다.

가우스 정리(발산 정리)

$$ \int_\mathcal{V} \nabla \cdot \mathbf{ F} dV = \oint _\mathcal{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S} $$

그러면 식은 아래와 같다.

$$ \mathbf{A} (\mathbf{r}) = \dfrac{\mu_0}{4\pi} \left[ \int \frac{1}{\eta} \left[\nabla^{\prime} \times \mathbf{M} (\mathbf{r}^{\prime}) \right] d \tau^{\prime} + \oint \dfrac{\mathbf{M}(\mathbf{r^{\prime}})}{\eta} \times d \mathbf{a}^{\prime}\right] $$

여기서 첫번째 항은 부피전류밀도 $\mathbf{J}_b$에 의해 생기는 전위라 볼 수 있다. 아래첨자 $b$는 bound의 약자이다.

$$ \mathbf{J}_b=\nabla \times \mathbf{M} $$

두번째 항은 표면전류밀도 $\mathbf{K}_b$에 의해 생기는 전위라 볼 수 있다.

$$ \mathbf{K}_b=\mathbf{M} \times \hat{\mathbf{n}} $$

여기서 $\hat{\mathbf{n}}$은 각 표면에 수직한 단위법선벡터이다. 이제 벡터전위를 속박전류밀도로 나타내면 아래와 같다.

$$ \mathbf{A} (\mathbf{r})=\dfrac{\mu_0}{4\pi} \int_\mathcal{V} \dfrac{\mathbf{J}_b(\mathbf{r}^{\prime})}{\eta}d\tau^{\prime}+\dfrac{\mu_0}{4\pi}\oint_\mathcal{S}\dfrac{\mathbf{K}_b (\mathbf{r}^{\prime})}{\eta}da’ $$

따라서 자화된 물체가 만드는 벡터 전위는 물체 속의 부피전류밀도 $\mathbf{J}_b=\nabla \times \mathbf{M}$과 물체 겉의 표면전류밀도 $\mathbf{K}_b=\mathbf{M} \times \hat{\mathbf{n}}$가 만드는 전위와 같다. 이는 속박전하 $\rho_b$와 $\sigma_b$를 정의하여 극된 물체가 만드는 전위를 표현한 것과 같다.


  1. David J. Griffiths, 기초전자기학(Introduction to Electrodynamics, 김진승 역) (4th Edition1 2014), p293-294 ↩︎

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