푸리에 변환의 여러가지 의미

푸리에 변환의 여러가지 의미

various meanings of fourier transforms

푸리에 변환은 수학, 물리학, 공학 등 광범위한 분야에서 다루는 만큼 어떻게 바라보느냐에 따라서 서로 다른 의미를 지니게 된다. 크게 수학, 양자역학, 신호처리에서의 의미를 소개한다. 우선 푸리에 변환과 역변환은 여러 꼴로 정의되므로 이 글에서 말하는 푸리에 변환이란 다음과 같다고 하자.

$$ \hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\xi x}dx $$

수학에서

기본적으로 수학에서 말하는 푸리에 변환은 커널이 $e^{-i\xi x}$인 적분 변환이다. 함수공간에서 내적은 적분으로 정의되므로 $f$의 푸리에 변환은 $f$와 $e^{i\xi x}$의 내적으로 생각할 수 있다.

$$ \begin{equation} \hat{f}(\xi) = \langle f, e^{i\xi x} \rangle \end{equation} $$

아래에서 다시 설명하겠지만 신호 $f$의 푸리에 변환을 구했을 때 $f$에 포함된 주파수 $\xi$를 알 수 있는 것도 이러한 의미 때문이다. 그런데 여기에서 커널 $e^{i \xi x}$에 조금 더 의미를 부여할 수 있다. 선형 작용소로서의 라플라시안을 생각해보자.

$$ \Delta \phi = \nabla ^{2} \phi = \lambda \phi $$

위 식을 만족하는 $\lambda$를 라플라시안의 고유값, $\phi$를 $\lambda$에 대응하는 라플라시안의 고유벡터라고 한다. 두 번 미분해서 자기 자신이 나오는 함수는 지수함수 $e^{i\xi x}$이다. 따라서 다음의 식이 성립한다.

$$ \nabla ^{2} e^{i\xi x} = (-\xi^{2}) e^{i\xi x} $$

그러므로 $e^{i\xi x}$는 라플라시안의 고유벡터이고, $(1)$을 다음과 같이 설명할 수 있다.

$f$의 푸리에 변환 $=$ $f$와 라플라시안의 고유벡터의 내적

그래프 신호 처리에서는 위의 해석을 토대로 그래프 푸리에 변환을 정의한다.

신호처리에서

$f$의 푸리에 급수란, $f$를 다음과 같이 지수함수의 급수로 전개한 것을 말한다.

$$ f(t) = \sum \limits_{\omega=-\infty}^{\infty} c_{\omega}e^{i\omega t} $$

이때 [오일러 등식]에 의해서 $e^{i \omega t} = \cos (\omega t) + i \sin (\omega t)$가 성립하므로 $t$는 시간, $\omega$는 파동의 주파수(진동수와 같은 말이다)를 의미한다. 그런데 위에서 설명했듯이 $f$의 푸리에 변환이란 $f$와 $e^{i\omega t}$를 내적한 것과 같다. 그런데 서로 다른 주파수 $\omega$, $\omega’$를 가진 지수함수는 서로 수직이므로, $f$와 $e^{i \omega t}$를 내적하면 주파수가 다른 항 $e^{-i \omega’ t}$들은 전부다 $0$이되고 $e^{i \omega t}$의 계수만 남는다.

$$ \begin{equation} \hat{f}(\omega) = \langle f, e^{i\xi x} \rangle = \left\langle \sum \limits_{\omega=-\infty}^{\infty} c_{\xi}e^{i\omega t} \right\rangle = | c_{\omega} |^{2} \label{signalprocess} \end{equation} $$

따라서 $f$의 푸리에 변환 $\hat{f}(\omega)$를 계산해서 $\hat{f}(\omega) \ne 0$인 $\omega$를 찾으면 그 $\omega$가 바로 신호 $f$에 포함된 신호 중 하나라는 말이다. 가령 신호 $f$가 다음과 같다고 하자.

$$ f(t) = 2\sin (2\pi 50t) + 1.7\sin (2\pi 100t) + 0.3 \cos (2\pi 200t) + 4\cos(2\pi 300 t) $$

Fourier.png

$\hat{f}$을 계산해보면 아래의 그림과 같고, $f$를 구성하는 주파수에서 함숫값이 $0$이 아닌 것을 확인할 수 있다.

Fourier2.png

따라서 푸리에 변환이란 어떤 신호 $f$를 시간과 주파수, 두 영역에서 바라볼 수 있게 만들어주는 도구라고 생각할 수 있다.

양자역학에서

양자역학에서는 슈뢰딩거 방정식파동함수로 작은 입자들의 운동을 설명한다. 파수가 $k$이고, 각진동수가 $\omega$인 파동함수는 위치와 시간에 따라서 다음과 같이 표현된다.

$$ \psi (x,t) = e^{i kx -\omega t} $$

그런데 드브로이 관계식에 의하면 파수와 운동량은 $k = \dfrac{p}{\hbar}$를 만족하고, 에너지와 각진동수는 $\omega = \dfrac{E}{\hbar}$를 만족하므로 파동함수는 아래와 같다.

$$ \psi (x,t) = e^{\frac{i}{\hbar} (px - Et)} $$

따라서 위의 설명들을 그대로 적용하면, 파동함수는 푸리에 변환에 의해서 운동량-위치 도메인을 왔다갔다하고, 에너지-시간 도메인을 왔다갔다한다. 다시말해 푸리에 변환은 파동함수를 운동량과 위치(에너지와 시간)라는 두 관점에서 바라볼 수 있게 해주는 도구이다.

댓글