유니타리 행렬
정의
$A$를 정사각 복소수 행렬이라고 하자. $A$가 아래의 식을 만족하면 유니타리 행렬unitary이라 한다.
$$ A^{-1}=A^{\ast} $$
이때 $A^{-1}$는 $A$의 역행렬, $A^{\ast}$는 $A$의 켤레전치이다.
설명
유니타리 행렬은 간단히 말해서 직교행렬을 복소수 행렬에 대해서 확장한 것이다. 따라서 직교행렬의 성질을 그대로 가진다. 아래의 유니타니 행렬일 동치 조건에 대한 증명은 직교행렬에서의 증명으로 대체한다.
정리: 유니타리 행렬일 동치 조건1
$n \times n$ 복소수 행렬 $A$에 대해서 아래의 명제는 모두 동치이다.
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$A$가 유니타리 행렬이다.
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$A$의 행 벡터들의 집합은 $\mathbb{C}^n$의 정규직교집합이다.
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$A$의 열 벡터들의 집합은 $\mathbb{C}^n$의 정규직교집합이다.
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$A$가 내적을 보존한다. 즉 모든 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in \mathbb{C}^{n}$에 대해서 다음이 성립한다.
$$ (A \mathbf{x}) \cdot (A\mathbf{y}) = \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} $$
- $A$가 길이를 보존한다. 즉 모든 $\mathbf{x}\in \mathbb{C}^{n}$에 대해서 다음이 성립한다.
$$ \left\| A \mathbf{x} \right\| = \left\| \mathbf{x} \right\| $$
정의: 유니타리 대각화2
크기가 $n \times n$인 정사각행렬 $A$가 주어졌다고 하자. $A$가 대각행렬 $D$와 유니타리 행렬 $P$에 대해서 다음의 식을 만족하면 유니타리 대각화가능unitarily diagonalizable하다고 한다.
$$ P^{\ast} A P = D $$
이러한 조건을 만족하는 $P$가 행렬 $A$를 유니타리 대각화한다unitarily diagonalize고 한다.