균등적분가능성

균등적분가능성

정의

측도 공간 $( X , \mathcal{E} , \mu)$ 가 주어져 있다고 하자.

르벡 적분 가능한 함수의 집합 $\Phi \subset \mathcal{L}^{1}$ 이 주어져있다고 할 때, 모든 $\varepsilon>0$ 에 대해 $$ \displaystyle \mu (E) < \delta \implies \sup_{f \in \Phi} \int_{ E } \left| f \right| d \mu < \varepsilon $$ 를 만족하는 $\delta > 0$ 가 존재하면 $\Phi$ 가 균등적분가능하다고 한다.

설명

균등적분가능성은 균등Uniformly이라는 말이 붙은만큼 셋 개념으로 접근하며, $\Phi$ 에 속한다면 어떤 함수든 그 $l_{1}$ 놈의 값이 동시에 $\varepsilon$ 보다 작아지도록 할 수 있게끔 좁은 $E$, 다시 말해 작은 $\delta > \mu (E)$ 가 존재할 수 있어야한다. 이렇게 집합으로 설명하면 수학적으로는 엄밀할지 몰라도 직관적으로 이해하기는 어려운데, 함수의 집합의 예로써 시퀀스 $\left\{ f_{n} \right\}_{n=1}^{\infty}$ 를 생각해보면 다음과 같이 한결 이해하기 쉽게 쓸 수 있다. $$ \displaystyle \mu (E) < \delta \implies \sup_{n \in \mathbb{N}} \int_{ E } \left| f_{n} \right| d \mu < \varepsilon $$ 다만 이런 표현을 꺼리는 이유는 시퀀스란 어디까지나 카운터블 셋이기 때문이다. 여러 이론의 토대가 되어줘야할 실해석학의 입장에선 그 가능성을 너무 심하게 제한당하는 느낌이 없지않아 있다.

한편 균등적분가능성을 생각하는 좋은 예시로는 확률과정론의 균등적분가능 마틴게일이 있다.

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