최선불편추정량, 최소분산불편추정량 UMVUE

최선불편추정량, 최소분산불편추정량 UMVUE

Uniform Minimum Variance Unbiased Estimator UMVUE

정의 1

모수 $\theta$ 가 주어져 있다고 하자. 불편추정량 $W^{\ast}$ 가 다른 모든 불편추정량 $W$ 에 대해 다음을 만족하면 최선불편추정량Best Unbiased Estimator 혹은 최소분산불편추정량UMVUE, Uniform Minimum Variance Unbiased Estimator이라 한다. $$ \text{Var}_{\theta} W^{\ast} \le \text{Var}_{\theta} W \qquad , \forall \theta $$

설명

UMVUE는 가장 앞의 Uniform을 떼고 그냥 MVUE라고 할 때도 있다. UMVUE가 너무 길기도 하고 최선Best이라는 표현이 찰떡같긴한데 최소분산Minimum Variance이 아주 직관적이기도 하고 Best가 학술적인 단어가 아니기도 해서인지 최선불편추정량이라는 표현은 한국어와 영어를 통틀어 좀처럼 쓰이지 않는다.

효율적추정량과의 차이

언뜻 보면 효율적추정량와 비슷해보이는데, 효율적추정량은 그 분산이 정확히 라오-크래머 하한까지 낮아져서 이론적으로 더보다 좋을 수 없는 불편추정량이고, 최선불편추정량은 이론적인 한계까진 아니더라도 다른 모든 불평추정량만 압도하면 된다. 최선을 다한다고 반드시 효율성이 $1$ 이 된다는 보장은 없으며, 분산을 이론적인 하한까지 최소화하지 못하더라도 최선불편추정량이 되는 것에는 전혀 문제가 없다.

효율적추정량이면 최선불편추정량이지만, 이 역은 성립하지 않는다.


  1. Casella. (2001). statistiical Inference(2nd Edition): p334. ↩︎

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