균등 수렴은 연속성을 보존한다

균등 수렴은 연속성을 보존한다

정리1

거리공간 $E$위에서 함수열 $\left\{ f_{n} \right\}$이 $f$로 균등 수렴한다고 하자.

$$ f_{n} \rightrightarrows f $$

만약 각각의 $f_{n}$이 $x \in E$에서 연속이면 $f$도 $x$에서 연속이다. 즉 다음이 성립한다.

$$ \lim \limits_{t \to x }f_{n}(t)=f_{n}(x) \implies \lim \limits_{t \to x }f(t)=f(x) $$

혹은

$$ \lim \limits_{t\to x}\lim \limits_{n\to \infty}f_{n}(t)=\lim \limits_{n\to \infty}\lim \limits_{t\to x}f_{n}(t) $$

증명

$\varepsilon >0$이 주어졌다고 하자. $\left\{ f_{n} \right\}$이 $f$로 균등수렴하므로 정의에 다음을 만족하는 자연수 $N$이 존재한다.

$$ \begin{equation} n\ge N,\ t\in E \implies \left| f_{n}(t)-f(t) \right| < \frac{\varepsilon}{3} \label{eq1} \end{equation} $$

$f_{n}$이 $x$에서 연속이라고 가정했으므로 다음을 만족하는 $\delta >0$가 존재한다.

$$ \begin{equation} \left| t-x \right|<\delta \implies \left| f_{n}(t)-f_{n}(x) \right|\le \frac{\varepsilon}{3} \label{eq2} \end{equation} $$

따라서 $\eqref{eq1}, \eqref{eq2}$에 의해 $\left| t-x \right| <\delta$일 때 다음의 식이성립한다.

$$ \begin{align*} \left| f(t)-f(x) \right| &= \left| f(t)-f_{n}(t)+f_{n}(t)-f_{n}(x)+f_{n}(x)-f(x) \right| \\ &\le \left| f(t)-f_{n}(t)\right|+\left| f_{n}(t)-f_{n}(x) \right|+ \left| f_{n}(x)-f(x) \right| \\ &\le \frac{\varepsilon}{3}+ \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} \\ &= \varepsilon \end{align*} $$

따라서 $f$는 $x$에서 연속이다.


  1. Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976), p149 ↩︎

댓글