행렬의 닮음과 고유값

행렬의 닮음과 고유값

Two similar matrices have same eigenvalue

정의

두 가역행렬 $A$ 와 $B$ 에 대해 $$ A = P^{-1} B P $$ 를 만족하는 가역행렬 $P$ 가 존재하면 $A$ 와 $B$ 는 서로 닮았다고 한다.

켤레

위에서 주어진 식을 $B$ 에 대해서 나타내면 $$ B = P^{-1} A P $$ 이므로 닮음 관계가 대칭적임을 쉽게 알 수 있다. 대수적으로는 $A$ 와 $B$ 가 $P$ 에 대한 켤레conjugate라고 말할 수 있겠다.

정리

두 행렬 $A,B$ 가 닮음이면 다음이 성립한다.

$$ \det (A - \lambda) = \det (B - \lambda) $$

증명

고유값이 같음을 보이기 위해서는 특성방정식이 같음을 보이면 충분하다.

$$ \begin{align*} \det (A - \lambda I ) =& \det ( P^{-1} (B - \lambda I ) P ) \\ =& \det P^{-1} \det (B - \lambda I) \det P \\ =& \det P^{-1} \det P \det (B - \lambda I) \\ =& \det I \det (B - \lambda I) \\ =& \det (B - \lambda I) \end{align*} $$

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