삼각함수의 배각공식과 반각공식

삼각함수의 배각공식과 반각공식

trigonometric identity

사장들이 고등학생이었을 때는 배각, 반각 공식에 합차 공식까지 교육과정에 있었는데 요즘은 아닌 걸로 알고 있다. 아래의 공식들은 모두 덧셈 공식으로부터 유도할 수 있으니 이를 모두 외우기 보다는 유도 과정을 익혀 필요할 때 마다 유도해서 쓰는게 좋다.

덧셈 정리

$$ \begin{align*} \sin ( \theta_{1} \pm \theta_{2}) &= \sin \theta_{1} \cos \theta_{2} \pm \sin \theta_{2} \cos \theta_{2}$ \\ \cos ( \theta_{1} \pm \theta_{2}) &= \cos \theta_{1} \cos\theta_{2} \mp \sin\theta_{1} \sin\theta_{2} \\ \tan ( \theta_{1} \pm \theta_{2}) &= \dfrac{\tan\theta_{1} \pm \tan\theta_{2}}{1 \mp \tan\theta_{1}\tan\theta_{2}} \end{align*} $$

배각 공식

$$ \begin{align*} \sin 2\theta &=2\sin\theta\cos\theta \\ \cos 2\theta &=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta=2\cos^{2}\theta-1=1-2\sin^{2}\theta \\ \tan 2\theta &=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^{2}\theta} \end{align*} $$

증명

배각 공식은 사인과 코사인의 곱에서 코사인을 없앨 때 사용한다. 혹은 각도에 대한 항이 $\theta$와 $2\theta$에 대해서 나뉘어져 있을 때 $\theta$로 맞춰줄 때 사용한다. 덧셈 공식에서 $\theta_{1} = \theta_{2}=\theta$라고 두면 이끌어 낼 수 있다.

$\sin$

$$ \begin{cases} \sin(\theta+\theta)=\sin(\theta+\theta)=\sin 2\theta \\ \sin(\theta+\theta) = \sin \theta \cos \theta + \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta \cos \theta \end{cases} $$

$$ \implies \sin 2\theta =2\sin\theta\cos\theta $$


$\cos$

$$ \begin{cases} \cos(\theta+\theta)=\cos(\theta+\theta)=\cos 2\theta \\ \cos(\theta+\theta)=\cos \theta \cos\theta - \sin\theta \sin\theta=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta=2\cos^{2}\theta-1=1-2\sin^{2}\theta \end{cases} $$

$$ \implies \cos 2\theta=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta=2\cos^{2}\theta-1=1-2\sin^{2}\theta $$


$\tan$

$$ \tan 2\theta =\dfrac{\sin 2\theta}{\cos 2\theta}=\dfrac{2\sin\theta\cos\theta}{\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta} $$

분자, 분모를 $\cos^{2}\theta$로 나눠주면 아래와 같다.

$$ \tan 2\theta =\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^{2}\theta} $$

반각 공식

$$ \begin{align*} \sin^{2} \dfrac{\theta}{2}&=\dfrac{1}{2}(1-\cos\theta) \\ \cos^{2} \dfrac{\theta}{2}&=\dfrac{1}{2}(\cos\theta+1) \\ \tan^{2} \dfrac{\theta}{2}&=\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta} \end{align*} $$

증명

반각 공식은 삼각함수를 적분할 때 차수를 낮춰주는 용도로 사용하는 등 여러 계산에서 유용하게 쓰인다. 코사인의 배각 공식을 이용하여 이끌어 낼 수 있다.

$\sin$

$$ \begin{align*} &&\cos 2\theta &=1-2\sin^{2}\theta \\ \implies && 2\sin^{2}\theta&=1-\cos2\theta \\ \implies && \sin^{2}\theta&=\dfrac{1}{2}(1-\cos 2\theta) \end{align*} $$

여기서 $\theta$를 $\dfrac{\theta}{2}$로 치환하면 다음을 얻는다.

$$ \sin^{2} \dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1}{2}(1-\cos\theta) $$


$\cos$

$$ \begin{align*} &&\cos 2\theta &=2\cos^{2}\theta-1 \\ \implies && 2\cos^{2}\theta&=\cos 2\theta+1 \\ \implies && \cos^{2}\theta&=\dfrac{1}{2}(\cos 2\theta+1) \end{align*} $$

여기서 $\theta$를 $\dfrac{\theta}{2}$로 치환하면 다음을 얻는다.

$$ \cos^{2} \dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1}{2}(\cos\theta+1) $$


$\tan$

$$ \tan^{2} \dfrac{\theta}{2}=\dfrac{\sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2}}=\dfrac{\frac{1}{2}(1-\cos\theta)}{\frac{1}{2}(\cos\theta+1)}=\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta} $$

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