베타함수의 삼각함수 표현

베타함수의 삼각함수 표현

정리

$$ \displaystyle B(p,q) = 2 \int_{0}^{{\pi} \over {2}} \left( \sin \theta \right) ^{2p-1} \left( \cos \theta \right) ^{2q-1} d \theta $$

설명

그것이 어떤 종류의 수학이라고 하더라도 어떤 함수를 다른 방식으로 표현할 수 있다는 건 좋은 일이다.

증명

$\displaystyle B(p,q) = \int_{0}^{1} t^{p-1} (1-t)^{q-1} dt$ 에서 $t = \sin^2 \theta$ 로 치환하면 $$ \displaystyle B(p,q) = \int_{0}^{{\pi} \over {2}} \left( \sin^2 \theta \right)^{p-1} \left( 1 - \sin^2 \theta \right) ^{q-1} 2 \sin \theta \cos \theta d \theta $$ $1 - \sin^2 \theta = \cos ^2 \theta$ 이므로 $$ \displaystyle B(p,q) = 2 \int_{0}^{{\pi} \over {2}} \left( \sin \theta \right)^{2p-1} \left( \cos \theta \right) ^{2q-1} d \theta $$

따름정리

특히 $\sin \theta = t$ 로 한 번 더 치환하면 르장드르의 배 공식을 유도하기 위한 보조정리를 얻는다. $$ B(p,q) = 2 \int_{0}^{1} t^{2p-1} \left( 1 - t^2 \right)^{q-1} dt $$

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