쌍대공간으로 정의되는 선형변환의 전치

쌍대공간으로 정의되는 선형변환의 전치

Transpose of Linear Transformation defined by Dual Space

정리1

유한차원 벡터공간 $V, W$의 순서기저를 각각 $\beta, \gamma$라고 하자. 임의의 선형변환 $T : V \to W$에 대해서, 다음과 같이 정의되는 함수 $U$는 선형변환이며 $[U]_{\gamma^{\ast}}^{\beta^{\ast}} = ([T]_{\beta}^{\gamma})^{t}$를 만족한다.

$$ U : W^{\ast} \to V^{\ast} \quad \by \quad U(g) = gT \quad \forall g \in W^{\ast} $$

여기서 $[T]_{\beta}^{\gamma}$는 $T$의 행렬표현, ${}^{t}$는 행렬의 전치, $V^{\ast}$는 $V$의 쌍대공간, $\beta^{\ast}$는 $\beta$의 쌍대기저이다.

정의

위 정리에 의한 선형변환 $U$를 $T$의 전치transpose라 하고 $T^{t}$로 표기한다.

설명

$T$의 행렬표현의 전치행렬이 $U$의 행렬표현이므로, 이를 $T^{t}$라 표기하고 전치라고 부르는 것은 매우 자연스럽다.

$$ [T^{t}]_{\gamma^{\ast}}^{\beta^{\ast}} = ([T]_{\beta}^{\gamma})^{t} $$

한편 정의에서 $gT$는 $g$와 $T$의 합성이다. $T : V \to W$이고, $W^{\ast} \ni g : W \to \mathbb{R}$이므로, $gT(x) = g(T(x))$이다.

증명

임의의 $g \in W^{\ast}$에 대해서, $g : W \to \mathbb{R}$, $T : V \to W$이므로, $U(g) = gT : V \to \mathbb{R}$이고 $gT \in V^{\ast}$이다. 따라서 $U : W^{\ast} \to V^{\ast}$이다.

두 순서기저를 $\beta = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \dots, \mathbf{v}_{n} \right\}, \gamma = \left\{ \mathbf{w}_{1}, \dots, \mathbf{w}_{m} \right\}$이라 하자. 그리고 각각의 쌍대기저를 $\beta^{\ast} = \left\{ f_{1}, \dots, f_{n} \right\}, \gamma^{\ast} = \left\{ g_{1}, \dots, g_{m} \right\}$이라고 하자. 표기의 편의를 위해 $A = [T]_{\beta}^{\gamma}$라고 하자. 행렬표현을 찾기 위해서는 기저의 상이 어떻게 매핑되는지 보면 된다. 따라서 $[U]_{\gamma^{\ast}}^{\beta^{\ast}}$의 $j$번째 열을 찾기 위해서 $U(g_{j})$를 계산해보자.

쌍대공간과 쌍대기저

$\beta = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \dots, \mathbf{v}_{n} \right\}$를 $X$의 순서기저, $\beta^{\ast} = \left\{ f_{1}, \dots, f_{n} \right\}$를 $X^{\ast}$의 쌍대기저라고 하자. 그러면, $f \in X^{\ast}$에 대해서,

$$ f = \sum_{i=1}^{n}f(\mathbf{v}_{i})f_{i} $$

쌍대공간의 성질과 $g_{j}T \in V^{\ast}$에 의해서,

$$ U(g_{j}) = g_{j}T = \sum_{s}(g_{j}T)(\mathbf{v}_{s})f_{s} $$

$$ [U(g_{j})]_{\beta^{\ast}} = \begin{bmatrix} (g_{j}T)(\mathbf{v}_{1}) \\ (g_{j}T)(\mathbf{v}_{2}) \\ \vdots \\ (g_{j}T)(\mathbf{v}_{n})\end{bmatrix} $$

그러므로 $U$의 행렬표현 $[U]_{\gamma^{\ast}}^{\beta^{\ast}}$는,

$$ [U]_{\gamma^{\ast}}^{\beta^{\ast}} = \begin{bmatrix} (g_{1}T)(\mathbf{v}_{1}) & (g_{2}T)(\mathbf{v}_{1}) & \cdots & (g_{n}T)(\mathbf{v}_{1}) \\ (g_{1}T)(\mathbf{v}_{2}) & (g_{2}T)(\mathbf{v}_{2}) & \cdots & (g_{n}T)(\mathbf{v}_{2}) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ (g_{1}T)(\mathbf{v}_{n}) & (g_{2}T)(\mathbf{v}_{n}) & \cdots & (g_{n}T)(\mathbf{v}_{n}) \end{bmatrix} $$

그런데 각 성분을 계산해보면,

$$ \begin{align*} (g_{j}T)(\mathbf{v}_{i}) = g_{j}(T(\mathbf{v}_{i})) &= g_{j}\left( \sum_{k}^{m} A_{ki}\mathbf{w}_{k} \right) \\ &= \sum_{k}^{m} A_{ki} g_{j}(\mathbf{w}_{k}) \\ &= \sum_{k}^{m} A_{ki} \delta_{jk} \\ &= A_{ji} \end{align*} $$

따라서 $[U]_{\gamma^{\ast}}^{\beta^{\ast}} = ([T]_{\beta}^{\gamma})^{t}$이다.


  1. Stephen H. Friedberg, Linear Algebra (4th Edition, 2002), p121-122 ↩︎

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