라플라스 변환의 평행이동

라플라스 변환의 평행이동

공식1

함수 $f(t)$의 라플라스 변환 $F(s)=\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\}$가 $s>a$일 때 존재한다고 하자. 그러면 상수 $c$에 대해서 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} \mathcal{L} \left\{ e^{ct}f(t) \right\}&=F(s-c), &s>a+c \\ \mathcal{L^{-1}} \left\{ F(s-c) \right\}&=e^{ct}f(t) & \end{align*} $$

설명

$f$에 지수함수를 곱하는 것과 $F$를 평행이동하는 것이 같다는 의미이다.

유도

$$ \begin{align*} \mathcal{L} \left\{ e^{ct}f(t) \right\} &=\int_0^\infty e^{-st}e^{ct}f(t)dt \\ &= \int_0^\infty e^{-(s-c)t}f(t)dt \\ &= F(s-c) \end{align*} $$

따름정리

$$ \begin{align*} \mathcal{L} \left\{ e^{ct} t^p \right\} &=\dfrac{\Gamma (p+1)}{(s-c)^{p+1}} \\ \mathcal{L} \left\{ e^{ct} \sin (at) \right\} &=\dfrac{a}{(s-c)^2+a^2} \\ \mathcal{L} \left\{ e^{ct} \cos (at) \right\} &= \dfrac{s-c}{(s-c)^2+a^2} \\ \mathcal{L} \left\{ e^{ct} \sinh (at) \right\} &= \dfrac{a}{(s-c)^2-a^2} \\ \mathcal{L} \left\{ e^{ct} \cosh (at) \right\} &= \dfrac{s-c}{(s-c)^2-a^2} \end{align*} $$

같이보기


  1. William E. Boyce, Boyce’s Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (11th Edition, 2017), p262 ↩︎

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