L2 공간의 트랜슬레이션, 모듈레이션, 다일레이션

L2 공간의 트랜슬레이션, 모듈레이션, 다일레이션

정의1

$$ \left( T_{a} f \right) (x) := f(x-a) $$

$$ \left( E_{b} f \right) (x) := e^{2 \pi i b x} f(x) $$

$$ \left( D_{c} f \right) (x) := {{ 1 } \over { \sqrt{c} }} f \left( {{ x } \over { c }} \right) $$

설명

위의 선형 작용소들은 $L^{2}$ 공간에서 흔히 쓰이는 선형 작용소들이다. 한국어로는 각각 평행이동(translation), 변조(modulation), 팽창(dilation)이라 번역할 수 있겠지만 영어를 그대로 읽는 것이 수식적으로 받아들이기 편할 것이다.

모듈레이션 에서 곱해진 $e^{2 \pi i b x}$ 는 단어 그대로 추상화된 회전이다.

다일레이션에서 곱해진 $\displaystyle {{ 1 } \over { \sqrt{c} }}$ 는 놈 $\left\| \cdot \right\|_{2}$ 에 맞추기 위해 루트가 씌워져있다고 보아도 무방하다. 특히 $c = 1/2$ 에 대해서는 다음과 같이 정의된 $D$ 가 특별한 역할을 하기도 한다.

$$ ( D f ) (x) := \sqrt{2} f (2x) $$

$D$ 는 편의를 위해서 $j \in \mathbb{Z}$ 에 대해 다음과 같이 쓰여진다.

$$ ( D^{j} f ) (x) := \sqrt{2}^{j} f \left( 2^{j} x \right) $$

성질

모든 $a, b \in \mathbb{R}$, $c > 0$ 와 $f,g \in L^{1}$ 에 대해

  1. $T_{a} , E_{b}, D_{c}$는 유계 선형 작용소다.

  2. 역작용소: $T_{a} , E_{b}, D_{c}$ 는 유니터리다.

  3. 교환관계:

$$ (T_{a} E_{b} f ) (x) = e^{- 2 \pi i b a} (E_{b} T_{a} f ) (x) \\ (T_{a} D_{c} f ) (x) = (D_{c} T_{a/c} f ) (x) \\ (D_{c} E_{b} f ) (x) = (E_{b/c} D_{c} f ) (x) $$

증명

1.


  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p120-122 ↩︎

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