해석적 수론에서의 오일러 토션트 함수

해석적 수론에서의 오일러 토션트 함수

Totient fuction in analytic number theory

정의 1

다음과 같이 정의된 산술 함수 $\varphi$ 을 토션트 함수라 한다. $$ \varphi (n) := \sum_{\gcd ( k , n ) = 1} 1 $$

기초 성질

  • [1] 토션트 급수: $N$ 이다. 다시 말해, $$ \sum_{d \mid n } \varphi (d) = N(n) $$
  • [2] 승법성: $\gcd (m,n) = 1$ 을 만족하는 모든 $m, n \in \mathbb{N}$ 에 대해 $\varphi (mn) = \varphi (m) \varphi (n)$

설명

$$ \begin{matrix} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \varphi(n) & 1 & 1 & 2 & 2 & 4 & 2 & 6 & 4 & 6 & 4 \\ \sum_{d \mid n} \varphi(d) & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \end{matrix} $$ 초등적 정수론의 그 토션트 함수가 맞다. 워낙 신비한 성질을 많이 가지고 있는만큼 해석적 정수론에서도 언급될 수밖에 없다.

정의

[1]

정의대로 풀어내서 직접 연역한다.

[2]

경우를 나눠 직접 연역한다.

같이보기


  1. Apostol. (1976). Introduction to Analytic Number Theory: p25. ↩︎

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