완전 유계 공간

완전 유계 공간

Totally bounded Space

정의 1

거리 공간 $(X,d)$ 과 $\varepsilon>0$ 가 주어져 있다고 하자.

  1. 모든 $x \in X$ 에 대해 $B_{d}(x,\varepsilon) \cap A_{\varepsilon} \ne \emptyset$ 을 만족하는 유한 집합 $A_{\varepsilon} \subset X$ 를 $X$ 에 대한 $\varepsilon$-그물$\varepsilon$-net이라 한다.
  2. 모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $X$ 에 대한 $\varepsilon$-넷 $A_{\varepsilon}$ 가 존재하면 $X$ 가 완전 유계Totally Bounded라 한다.

설명

완전 유계 공간은 일반적으로 프리 컴팩트 공간이라고도 불린다.

$\varepsilon$-그물

$A_{\varepsilon}$ 를 그물이라고 부르는 것은 그 조건인 $B_{d}(x,\varepsilon) \cap A_{\varepsilon} \ne \emptyset$ 를 생각해봤을 때 상당히 직관적이다. 수식을 말로 풀어서 생각해보면 주어진 공간 $X$ 에서 어떤 점을 가져오든 $A_{\varepsilon}$ 에 걸리게 되어있다는 것이다. 모든 점이 허용 오차 $\varepsilon$ 내에 걸린다면 이것을 그물이라고 부르는 것은 꽤 타당하다.

완전 유계

모든 $\varepsilon>0$ 에 대해서 유한한 커버만을 생각해도 $X$ 를 커버할 수 있다는 것은 $X$ 가 정말 작고 만만하다는 의미가 된다. 어떤 공간이 완전 유계라는 것은 이것을 유한하게 쪼개서 생각할 수 있는 동시에 거리 공간이라서 그 하나하나도 상상하기 쉬운 조건을 갖추고 있다는 것이다.

$A_{\varepsilon}$ 가 $\varepsilon$-넷이 되도록 하는 조건인 $B_{d}(x,\varepsilon) \cap A_{\varepsilon} \ne \emptyset$ 에서 기시감을 느낄 수 있다면 스스로 위상수학과 꽤 친한 사이라고 생각해도 좋다. 이 조건은 어떤 공간이 가분 공간인지 파악하는 판별법에서도 거의 같은 모양새로 등장한다. 실제로 조밀성과의 개념적인 차이점은 유한하냐 무한하냐의 차이다. 당연히 가산 집합에 대해 조건을 만족 시키는것보다 유한 집합에 대해 조건을 만족시키는 게 어렵고, 다음의 정리도 자명하게 성립한다.

정리

  • [1]: 완전 유계 공간은 가분 공간이다.
  • [2]: 거리공간이 컴팩트인 것과 완비이면서 완전 유계인 것은 동치다.

증명

[1]

유한 집합은 가산 집합이므로 가분 공간의 정의에서 자명하다.

[2]

점렬 컴팩트로 우회해서 연역한다.


  1. Munkres. (2000). Topology(2nd Edition): p275. ↩︎

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