토탈 배리에이션

토탈 배리에이션

정의1

가측공간 $(X, \mathcal{E})$위의 부호 측도 $\nu$의 토탈 배리에이션total variation $| \nu |$를 다음과 같이 정의한다.

$$ |\nu |= \nu^{+} +\nu^{-} $$

이때 $\nu=\nu^{+}-\nu^{-}$는 $\nu$의 조던 분해이다.

설명

$\nu^{+}$와 $\nu^{-}$를 각각 $\nu$의 포지티브 배리에이션positive variation, 네거티브 배리에이션negative variation이라 한다. 측도에 대한 조던 분해와 토탈 배리에이션은 임의의 함수를 음이아닌 두 함수로 표현하는 방법과 완전히 같다. 토탈 배리에이션 $|\nu|$에 대해서 다음이 성립한다.

정리1

$E \in \mathcal{E}$라고 하자. 그러면 아래의 두 명제는 동치이다.

증명


증명 과정에서 동치인 조건이 아래와 같이 확장됨을 알 수 있다.

정리2

부호 측도 $\nu$, $\mu$에 대해서 아래의 조건들은 모두 동치이다.

증명


  1. Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (2nd Edition, 1999), p ↩︎

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