토탈 배리에이션

토탈 배리에이션

total variation

정의1

가측공간 $(X, \mathcal{E})$위의 부호 측도 $\nu$의 토탈 배리에이션total variation $| \nu |$를 다음과 같이 정의한다.

$$ |\nu |= \nu^{+} +\nu^{-} $$

이때 $\nu=\nu^{+}-\nu^{-}$는 $\nu$의 조던 분해이다.

설명

$\nu^{+}$와 $\nu^{-}$를 각각 $\nu$의 포지티브 배리에이션positive variation, 네거티브 배리에이션negative variation이라 한다. 측도에 대한 조던 분해와 토탈 배리에이션은 임의의 함수를 음이아닌 두 함수로 표현하는 방법과 완전히 같다. 토탈 배리에이션 $|\nu|$에 대해서 다음이 성립한다.

정리1

$E \in \mathcal{E}$라고 하자. 그러면 아래의 두 명제는 동치이다.

  • (a) $E$가 $\nu$-null이다.
  • (b) $E$가 $|\nu|$-null이다.

증명

  • (a) $\implies$ (b)

    $E$가 $\nu$-null이라고 하자. $X=P\cup N$을 $\nu$에 대한 $X$의 한 분해라고 하자. 그러면 가정에 의해 모든 $F\subset E$, $F\in \mathcal{E}$에 대해서 다음이 성립한다.

    $$ \begin{align*} \nu^{+}(F) &= \nu (F \cap P)=0 \\ \nu^{-}(F) &= \nu (F \cap N)=0 \end{align*} $$

    따라서 아래의 식이 성립한다.

    $$ | \nu | (F)= \nu^{+}(F) + \nu^{-}(F)=0,\quad \forall F\subset E $$

    그러므로 $E$는 $| \nu |$-null이다.

  • (b) $\implies$ (a)

    $E$가 $| \nu |$-null이라고 하자. 그러면 모든 $F\subset E$, $F\in \mathcal{E}$에 대해서 다음이 성립한다.

    $$ | \nu | (F)=\nu^{+} (F) +\nu ^- (F)=0 $$

    그런데 $\nu^{+}$, $\nu^{-}$는 양측도 이므로 위 식이 성립하려면 반드시 $\nu^{+} (F)=0$, $\nu^{-} (F)=0$이어야만 한다. 따라서 다음을 얻는다.

    $$ \nu (F) = \nu^{+} (F) - \nu^{-} (F)=0,\quad \forall F\subset E $$

    그러므로 $E$는 $\nu$-null이다.


증명 과정에서 동치인 조건이 아래와 같이 확장됨을 알 수 있다.

  • (a) $E$가 $\nu$ -null이다.
  • (b) $E$가 $|\nu|$ -null이다.
  • (b’) $E$가 $\nu^{+}$ -null, $\nu^{-}$ -null이다.

정리2

부호 측도 $\nu$, $\mu$에 대해서 아래의 조건들은 모두 동치이다.

  • (c) $\nu \perp \mu$
  • (d) $\nu^{+} \perp \mu$ 그리고 $\nu^{-} \perp \mu$
  • (e) $|\nu| \perp \mu$

증명

  • (c) $\implies$ (d)

    가정에 의해 $E$가 $\nu$-null이고, $F$가 $\mu$-null인 $E \cup F =X$, $E \cap F=\varnothing$가 존재한다. 이때 $E$가 $\nu^{+}$-null, $\nu^{-}$-null임을 보이면 뮤츄얼리 싱귤러의 정의에 의해 증명 완료이다. 그런데 정리 1 에 의해 $E$가 $\nu$-null이면, $\nu^{+}$-null, $\nu^{-}$-null이기도 하므로 다음이 성립한다.

    $$ \nu^{+} \perp \mu \quad \text{and} \quad \nu^{-} \perp \mu $$

  • (d) $\implies$ (e)

    가정에 의해 $E_+$가 $\nu^{+}$-null이고, $F$가 $\mu$-null인 $E_+ \cup F_+ =X$, $E_+ \cap F_+=\varnothing$가 존재한다. 또한 $E_-$가 $\nu^{-}$-null이고, $F$가 $\mu$-null인 $E_- \cup F_- =X$, $E_- \cap F_-=\varnothing$가 존재한다. 이제 집합 $A,\ B_1,\ B_2,\ B_3$을 아래와 같이 정의하자.

    $$ A:= E_+ \cap E_-,\quad B_1:=E_+ \cap F_- \\ B_2:=F_+ \cap F_- ,\quad B_3:=E_- \cap F_+ $$

    그러면 네 집합은 각각 서로소이고 다음을 만족한다.

    $$ A\cup B_1 \cup B_2 \cup B_3 =X $$

    그리고 $A$는 $\nu^{+}$-null이고 $\nu^{-}$-null이다. 따라서 $A$는 $| \nu |$-null이다. 또한 모든 $j$에 대해서 $B_j$는 $\mu$-null이다. 이제 $B=\cup B_j$라고 하자. 그러면 $A\cup B=X$, $A \cap B=\varnothing$이고 $A$가 $| \nu |$-null, $B$가 $\mu$-null이므로 다음이 성립한다.

    $$ | \nu| \perp \mu $$

  • (e) $\implies$ (c)$

    가정에 의해 $E$가 $| \nu |$-null이고, $F$가 $\mu$-null인 $E \cup F =X$, $E \cap F=\varnothing$가 존재한다. 정리 1 에 의해 $E$가 $| \nu |$-null이면 $\nu$-null이기도 하므로 증명 완료


  1. Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (2nd Edition, 1999), p ↩︎

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