전미분, 완전미분

전미분, 완전미분

Total Differential

정의

다변수 함수 $f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$가 주어졌다고 하자. 변수 $\mathbf{x} = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$의 변화에 따른 $f(\mathbf{x})$의 변화를 다음과 같이 $df$로 표기하고 이를 $f$의 전미분total differential 혹은 완전미분exact differential이라 한다.

$$ \begin{equation} df = \frac{ \partial f}{ \partial x_{1} }dx_{1} + \frac{ \partial f}{ \partial x_{2} }dx_{2} + \cdots + \frac{ \partial f}{ \partial x_{n} }dx_{n} \label{1} \end{equation} $$

설명

위 정의는 변수 $\mathbf{x}$의 변화에 따른 $f$ 값의 변화를

$\mathbf{x}$의 각 성분의 변화량 $dx_{i}$에, 각 성분의 변화에 따른 $f$의 변화율 $\dfrac{\partial f}{\partial x_{1}}$을 곱한 $\dfrac{ \partial f}{ \partial x_{i} }dx_{i}$들을 모두 더한 것

으로 생각하겠다는 뜻이다. 아래의 식을 통해 이러한 노테이션이 직관적이고 편리하다는 것을 알 수 있다. $f=f(x,y,z)$라고 할 때,

$$ \dfrac{df}{dx} = \frac{ \partial f}{ \partial x}\dfrac{dx}{dx} + \frac{ \partial f}{ \partial y}\dfrac{dy}{dx} + \frac{ \partial f}{ \partial z}\dfrac{dz}{dx} = \dfrac{\partial f}{\partial x} $$

물리학에서는 다음과 같은 꼴로도 자주 등장한다. $\left( x(t), y(t), z(t) \right)$에 대해서,

$$ \dfrac{d f}{d t} = \frac{ \partial f}{ \partial x}\dfrac{dx}{dt} + \frac{ \partial f}{ \partial y}\dfrac{dy}{dt} + \frac{ \partial f}{ \partial z}\dfrac{dz}{dt} $$

생새우 초밥집에는 이런 개념에 대한 수학적으로 엄밀한 설명도 있지만, 물리학이나 공학을 배우는 학생들이라면 본 글에 나와있는 정도로만 이해해도 충분하다.

유도

2변수 함수에 대해서 다음과 같은 방법으로 $\eqref{1}$을 유도할 수 있다. $z=f(x,y)$가 주어졌다고 하자. $z$의 전미분은 변수 $x$, $y$가 변할 때의 $z$의 변화량이라 했으므로 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$$ dz = f(x+dx,y+dy)-f(x,y) $$

여기서 우변에 $f(x,y+dy)$를 빼주고 더해준 뒤 식을 정리하면 아래와 같다. $$ \begin{align*} dz &= f(x+dx,y+dy) {\color{blue}-f(x,y+dy)+f(x,y+dy)}-f(x,y) \\ &= [f(x+dx,y+dy) -f(x,y+dy)]+[f(x,y+dy)-f(x,y)] \\ &= \frac{f(x+dx,y+dy) -f(x,y+dy)}{dx}dx+\frac{f(x,y+dy)-f(x,y)}{dy}dy \\ &\approx \frac{ \partial f}{ \partial x}dx + \frac{ \partial f}{ \partial y }dy \\ &= \frac{ \partial z}{ \partial x}dx+\frac{ \partial z}{ \partial y}dy \end{align*} $$

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