미분기하에서 전각변동

미분기하에서 전각변동

Total Angular Variation

정의

piecewise regular simple closed with period $L$. ($\gamma(t + L) = \gamma(t)$)

$\mathbf{Z}(t)$ a continuous vector field along $\gamma$ which is differentiable on regular pieces.

$\mathbf{V}$ vector field such that $\left| \mathbf{V}(p) \right| = 1$ $\forall p \in U$

$\alpha (t) = \angle \left( \mathbf{V}(\gamma(t)), \mathbf{Z}(t) \right)$

$\delta_{\mathbf{V}}\alpha := \int_{0}^{L} \dfrac{d \alpha}{d t}(t) dt$ the total angular variation of $\mathbf{Z}$ along $\gamma$ with respect to $\mathbf{V}$. 당연하게도 이 값은 $\mathbf{V}$에 디펜드한다.

설명

이 값은 커브의 성질에 따라서 $\mathbf{V}$에 의존하지 않는 경우도 있다.

정리

만약 리전 $R$이 contractible하면, $\delta_{\mathbf{V}}\alpha$는 $\mathbf{V}$의 선택에 의존하지 않는다.

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  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p182 ↩︎

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