위상적 성질

위상적 성질

Topological property

정의 1

위상동형인 두 공간 $X,Y$ 에 대해 $X$ 의 성질 $P$ 를 $Y$ 도 갖고 있으면 $P$ 를 위상적 성질Topological Property이라 한다. 위상적 성질의 예시로는 아래와 같은 것들이 있다.

설명

대수학에서 동형사상이 중요하듯, 위상수학에선 위상동형사상이 중요한 이유가 바로 이것이다. 위상동형사상이 존재함을 보이면 언뜻 달라보이는 공간이라도 여러가지 성질을 공유함을 알 수 있는 것이다. 물론 연구하기 어려운 공간을 연구하기 쉬운 공간으로 가져와서 생각할 수도 있다.

증명

가분성

위상동형사상 $f : X \to Y$ 가 존재하고 $X$ 가 가분공간이라고 하자. $Y$ 가 가분공간임을 보이면 증명은 끝난다.

가정에서 $X$ 는 가분공간이므로, $\overline{A} = X$ 를 만족하는 가산부분집합 $A \subset X$ 가 존재한다. 자명하게도 $f(A)$ 는 $Y$ 의 가산부분집합이고, $\overline{f(A)} = Y$ 를 보이면 된다.

$f$ 가 연속함수면 모든 $A \subset X$ 에 대해, $f( \overline{A} ) \subset \overline{ f(A) } $

$f$ 는 전사이므로 $f(X) = Y$ 고 연속함수이므로 $f(\overline{A}) \subset \overline{ f(A) }$, 즉 $$ Y = f(X) = f(\overline{A}) \subset \overline{ f(A) } $$ 이고 정리하면 $Y \subset \overline{ f(A) }$ 이다. 한편 $Y$ 는 $f$ 의 공역이므로 $\overline{ f(A) } \subset Y$ 이고, $\overline{f(A)} = Y$ 이다.

제1가산성

위상동형사상 $f : X \to Y$ 가 존재하고 $X$ 가 제1가산공간이라고 하자. $Y$ 가 제1가산공간임을 보이면 증명은 끝난다.

$f$ 가 연속함수면 모든 열린 집합 $V \subset Y$ 에 대해, $f^{-1} (V)$ 가 $X$ 에서 열린 집합이다.

$f$ 는 연속함수이므로, $Y$ 의 모든 열린 부분집합 $f(x) \in V$ 에 대해 $x \in f^{-1} (V)$ 는 $X$ 에서 열린 집합이다. 모든 $x \in X$ 에 대해 국소기저 $\mathscr{B}_{x}$ 가 존재하므로, $$ x \in B \subset f^{-1}(V) $$ 를 만족하는 $B$ 가 항상 존재한다. 따라서 $f(x) \in f(B) \subset V$ 인데 $f$ 는 열린 함수이므로 모든 $B \subset \mathscr{B}_{x}$ 에 대해 $f(B)$ 는 $Y$ 에서 열린 집합이다. 즉 $$ \mathscr{B}_{f(x)} := \left\{ f(B) \ | \ B \in \mathscr{B}_{x} \right\} $$ 는 $f(x) \in Y$ 에 대해 국소기저고, $\mathscr{B}_{x}$ 는 가산 집합이므로 $\mathscr{B}_{f(x)}$ 역시 가산집합이다. $f$ 는 전단사이므로 모든 $y = f(x)$ 에 대해 $\mathscr{B}_{y}$ 가 존재하고, $Y$ 는 제1가산공간이다.

제2가산성

위상동형사상 $f : X \to Y$ 가 존재하고 $X$ 가 제2가산공간이라고 하자. $Y$ 가 제2가산공간임을 보이면 증명은 끝난다.

가정에 따라 $X$ 의 가산기저 $\mathscr{B} := \left\{ B_{n} \ | \ n \in \mathbb{N} \right\}$ 가 존재한다.

$f$ 가 연속함수면 모든 열린 집합 $V \subset Y$ 에 대해, $f^{-1} (V)$ 가 $X$ 에서 열린 집합이다.

$f$ 는 연속함수이므로 모든 열린 집합 $V \subset y$ 에 대해 $f^{-1}(V)$ 는 $X$ 에서 열린 집합이다. $\mathscr{B}$ 는 $X$ 의 기저이므로 $\displaystyle f^{-1}(V) = \bigcup_{i \in I} B_{i}$ 이고, $$ V = f \left( \bigcup_{i \in I} B_{i} \right) = \bigcup_{i \in I} f( B_{i} ) $$ 즉 모든 $V$ 에 대해 가산기저 $\mathscr{B}’ := \left\{ f(B_{n}) |\ n \in \mathbb{N} \right\}$ 가 존재하고, $Y$ 는 제2가산공간이다.

거리화가능성

위상동형사상 $f : X \to Y$ 가 존재하고 $X$ 가 거리화가능 공간이라고 하자. $Y$ 가 거리화가능 공간임을 보이면 증명은 끝난다.

거리의 조건:

  • (i): $d(x,y)=0 \iff x = y$
  • (ii): $d(x,y) = d(y,x)$
  • (iii): $d(x,y) + d(y,z) \ge d(x,z)$

가정에서 $\left( X , d \right)$ 가 거리공간이 되는 거리 $d : X \times X \to [ 0 ,\infty )$ 가 존재한다. 여기서 $d’ : Y \times Y \to [ 0 ,\infty )$ 를 $$ d’(y_{1} , y_{2}) : = d \left( f^{-1} (y_{1}) , f^{-1} (y_{2}) \right) $$ 와 같이 정의하자. $d’$ 는 거리 $d$ 를 통해 정의되었으므로 $d’$ 역시 거리가 되는 조건들을 만족함을 쉽게 보일 수 있다.

$f$ 가 연속함수면 모든 열린 집합 $V \subset Y$ 에 대해, $f^{-1} (V)$ 가 $X$ 에서 열린 집합이다.

$f$ 는 연속함수이므로 모든 열린 $ V \subset Y$ 에 대해 $f^{-1} (V)$ 는 $X$ 에서 열린 집합이다.

따라서 $$ f^{-1} (V) = \bigcup_{x \in f^{-1}(V)} B_{d} (x, r_{x}) $$ 이고 양변에 상을 취하면 $$ \begin{align*} V =& f \left( \bigcup_{x \in f^{-1}(V)} B_{d} (x, r_{x}) \right) \\ =& \bigcup_{x \in f^{-1}(V)} f \left( B_{d} (x, r_{x}) \right) \\ =& \bigcup_{x \in f^{-1}(V)} B_{d’} ( f(x) , r_{x}) \end{align*} $$

$f$ 는 위상동형사상이므로 $$ B_{d’} ( f(x) , r) = B_{d’} ( y , r) = f \left( B_{d} ( f^{-1} (y) , r) \right) $$ 는 $Y$ 에서 열린 볼이다. 따라서 모든 열린 볼들의 집합 $\mathscr{B}’ := \left\{ B_{d’} (y, r) \ | \ y \in Y \land r>0 \right\}$ 는 $Y$ 의 기저가 되고, $Y$ 는 거리화가능 공간이다.


  1. Munkres. (2000). Topology(2nd Edition): p105. ↩︎

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