임의의 함수를 두개의 음이 아닌 함수로 표현하는 방법

임의의 함수를 두개의 음이 아닌 함수로 표현하는 방법

정의1

함수 $f : X \to \mathbb{R}$에 대해서 $f^{+}$와 $f^{-}$를 다음과 같이 정의하자.

$$ \begin{align*} f^{+} (x) &:= \max \left\{ f(x),\ 0 \right\} \\ f^{-} (x) &:= \max \left\{ -f(x),\ 0 \right\} \end{align*} $$

$f^{+}$를 $f$의 양의 부분positive part이라 하고, $f^{-}$를 $f$의 음의 부분negative part 이라 한다.

설명

이름 때문에 헷갈릴 수도 있지만 $f^{+}$와 $f^{-}$ 둘 다 음이 아닌non negative 함수이다. 정의만 봐서는 저들이 왜 양의 부분, 음의 부분인지 감이 잘 안올 수 있다. 아래의 그림을 보자.

5D0892D11.jpg

그림을 보면 알겠지만 양의 부분 $f^{+}$는 정확히 $f$의 값이 양수인 부분을 표현하고 $f^{-}$는 $f$의 값이 음수인 부분을 (양수로)표현한다. 위의 정의에 따라서 아래의 수식들이 성립하는 것은 쉽게 알 수 있다.

$$ f=f^{+} -f^{-},\quad |f|=f^{+}+f^{-} $$

$$ \begin{array}{c} f^{+}=\frac{1}{2}(|f| + f),\quad f^{-}=\frac{1}{2}(|f|-f) \end{array} $$

정리🔗

세 함수 $f,g,h : X \to \mathbb{R}$, 가 아래의 조건을 만족한다고 하자.

$$ f(x)=g(x)-h(x), \quad \min \left\{ g(x),\ h(x) \right\} \ge 0\ \quad \forall\ x \in X $$

그러면 다음의 식이 성립힌다.

$$ f^{+} (x) \le g(x), \quad f^{-} (x) \le h(x) \quad \forall\ x \in X $$


임의의 함수를 음이 아닌 두 함수의 차로 나타낼 때 $f$의 양의 부분 $f^{+}$와 $f$의 음의 부분 $f^{-}$가 그를 만족하는 가장 작은 함수가 된다는 의미이다.

증명

임의의 $x$에 대하여 $ f(x)=g(x)-h(x)$이고, $h(x) \ge 0$이므로 $f(x) \le g(x)$이다. 또한 가정에 의해 $0 \le g(x)$이다. $g(x)$가 $f(x)$와 $0$ 둘 보다 각각 크거나 같기 때문에 둘 중 큰 것 보다도 크거나 같다. 따라서 다음이 성립한다.

$$ f^{+}(x) = \max \left\{ f(x), 0 \right\} \le g(x) $$

임의의 $x$에 대하여 $-f(x)=h(x)-g(x)$이고, $g(x) \ge 0$이므로 $-f(x) \le h(x)$이다. 또한 가정에 의해 $0 \le h(x)$이다. $h(x)$가 $-f(x)$와 $0$ 둘 보다 각각 크거나 같기 때문에 둘 중 큰 것 보다도 크거나 같다. 따라서 다음이 성립한다.

$$ f^{-}(x) = \max \left\{ -f(x), 0 \right\} \le h(x) $$

같이보기


  1. Robert G. Bartle, The Elements of Integration and Lebesgue Measure (1995), p10 ↩︎

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