로렌츠 변환으로 인한 특수상대성이론의 특징: 시간 지연 📂상대성이론

로렌츠 변환으로 인한 특수상대성이론의 특징: 시간 지연

time dilation

로렌츠 변환의 특징

특수상대성이론에서 두 좌표계 사이의 변환은 고전적인 변환과 다르다. ‘빛의 속도는 어느 관찰자에게나 똑같다’ 라는 점 때문이다. 이러한 조건을 고려하여 유도해낸 것이 로렌츠 변환이다. 로렌츠 변환으로 인해서 고전물리에서는 나타나지 않는 새로운 현상이 세가지 있다.

시간 지연

시간 지연이란 간단히 말하면 광속에 가깝게 운동하는 물체일수록 시간이 천천히(느리게) 흐르는 것이다. 시간축이 더 길어진다는 의미에서 시간 팽칭이라 하기고 한다.

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$A$계와 $A$계를 기준으로 $x$방향으로 $v_{0}$의 속도로 등속운동하는 $A’$계가 있다고 하자. $A$계에서 정지해있는 물체의 world line은 아래와 같다.

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하나의 사건이 시작됐다가 끝나는데 움직이는 계$(A’$계$)$에서 바라봤을 때 더 오래 걸린다. 즉 시간이 천천히 흐른다는 것을 알 수 있다. 이 때 정지한 계와 비교했을 때 $\gamma_{0}$배만큼 시간이 늘어나고 $\gamma_{0}$는 $A’$계의 속도 $v_{0}$에 의존한다. 빠르게 움직이면 움직일수록 $\gamma_{0}$값이 커져 시간이 점점 느리게 간다.

혹성탈출이나 인터스텔라에 나오는 지구와 우주선에서 서로 나이를 다르게 먹는 현상이 바로 이것이다. 길이 수축과 마찬가지로 $A’$계가 움직이지 않는 방향(수직한 방향)으로는 시간 지연이 일어나지 않는다. 혹시 궁금하다면 좌표를 다르게 해놓고 직접 계산해보라. 항상 이동방향과 나란한 방향으로만 동시성이 깨지고 시간지연, 길이수축이 일어난다.

사고 실험

시간지연 현상을 확인할 수 있는 가장 대표적인 실험이다. 빛의 속도는 일정하므로 상수 $c$라고 표시하자.

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위의 그림과 같은 로켓이 있다고 하자. 로켓은 오른쪽으로 움직이고 바닥에서 천장까지 수직방향으로 빛을 쏘았다. 바닥에서 출발한 빛은 천장에서 반사되어 다시 바닥으로 돌아온다. 로켓의 바닥에서 천장까지 거리를 $L$이라 하자. 로켓 안에서 빛이 왕복하는데 걸리는 시간은 $t_{r} = \dfrac{2L}{c}$이다. 이 결과는 관찰자가 로켓 안에 있을 경우이다. 그렇다면 로켓 밖에서 이 상황을 관찰하면 어떻게 될까?

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로켓 밖에서는 빛이 바닥과 천장을 왕복할 때 빨간색 선의 경로로 보일 것이다. 로켓의 속도를 $v_{0}$라고 하자. 여기서 피타고라스의 정리를 쓰면 로켓 밖에서의 시간을 구할 수 있다.

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$$ \begin{align*} && {\left( \frac { ct }{2} \right)} ^{2} &= {\left( \frac { v_{0}t }{2} \right)} ^{2}+L^{2} \\ \implies && t^{2}\frac { c^{2}-{v_{0}} ^{2} }{4} &= L^{2} \\ \implies && t &= \frac { 2L }{ \sqrt { c^{2}-{v_{0}} ^{2} } }=\frac { 2L }{ c }\frac { 1 }{ \sqrt { 1-\frac { v_{0}}{ c^{2}}}} =\gamma _{0}\frac { 2L }{ c } \end{align*} $$

이 때 $\gamma _{0} = \dfrac { 1 }{ \sqrt { 1-\frac {{v_{0}}^{2} }{ c^{2} } } }$를 로렌츠 팩터라 한다. 이제 $t$와 $t_{r}$을 비교해보면 다음과 같다.

$$ t_{r}=\frac { 2L }{ c },\quad t=\gamma _{0}\frac { 2L }{ c} $$

로켓 안과 밖에서의 시간이 $\gamma_{0}$배 만큼 차이난다. 로켓의 속도 $v_{0}$는 빛의 속도 $c$보다 작으므로 $\gamma_{0}>1$이고 $t=\gamma_{0}\frac{2L}{c}=\gamma_{0}t_{r}$ 이므로 $t>t_{r}$이다. 즉, 똑같은 상황임에도 불구하고 로켓 안과 밖에서 시간의 흐름이 다르다. 로켓 안에서는 밖에서 보다 시간이 천천히 흐른다.

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