타이트 확률 과정

타이트 확률 과정

정의

확률 공간 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ 에서 확률 과정 $\left\{ X_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 이 정의되어 있다고 하자. 모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $$\displaystyle \inf_{n \in \mathbb{N}} P\left( X_{n} \in K \right) > 1 - \varepsilon$$ 를 만족시키는 컴팩트 셋 $K \subset \Omega$ 가 존재하면 $\left\{ X_{n} \right\}$ 이 타이트Tight하다고 한다.

설명

수리통계학에서는 확률 유계에 해당하는 개념이다. 타이트는 분포 수렴과 관련해서 다음과 같이 중요한 성질들을 여럿 가진다.

기초 성질

$X$, $\left\{ X_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 가 각각 거리 공간 $(S, d)$ 에서 정의된 확률 원소, 확률 과정이고 $\mathscr{H}: = C(S, \mathbb{R})$ 이라 하자.

$X$, $\left\{ X_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 가 각각 $C[0,1]$ 에서 정의된 확률 원소, 확률 과정이라고 하자.


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