에너지가 포텐셜보다 작을 때 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식의 해가 없음을 증명

에너지가 포텐셜보다 작을 때 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식의 해가 없음을 증명

정리

에너지가 포텐셜보다 작은 구간에서는 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식의 해가 존재하지 않는다. 즉, 파동함수가 존재하지 않는다.

설명

해가 존재하지 않는다는 말은, 물리적으로 의미있는 해가 존재하지 않는다는 말이다.

이는 파동함수라면 규격화가능해야 한다는 조건으로 증명할 수 있다. 규격화 가능하다는 말은 제곱적분가능하다는 말이고 이는 파동함수를 구간 전체에서 제곱적분 했을 때 발산하면 안된다는 뜻이다. 수식으로 표현하면 아래의 조건을 만족해야 물리적 의미가 있는 파동함수라고 할 수 있다.

$$ \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} |\psi|^2 dx < \infty $$

증명

시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식은 아래와 같다.

$$ \dfrac{-\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial ^2 }{\partial x^2}\psi + U\psi=E\psi $$

$$ \implies \dfrac{\partial ^2}{\partial x^2} \psi = \dfrac{2m}{\hbar^2}(U-E)\psi $$

여기서 우리는 지금 에너지가 포텐셜보다 작을 때 해가 없음을 보이는 중이므로 우변에서

$$ U>E \implies U-E>0 $$

따라서 $\dfrac{2m}{\hbar^2}(U-E)>0$이고 이를 임의의 상수 $\kappa$에 대해 $\kappa ^2$이라고 표기할 수 있다.

$$ \dfrac{2m}{\hbar^2}(U-E) \equiv \kappa ^2 $$

$\kappa$는 카파라고 읽는다. 그러면 방정식은 다음과 같다.

$$ \dfrac{\partial ^2}{\partial x^2} \psi = \kappa ^2 \psi $$

이는 계수가 양수인 2계 미분 방정식이므로, 다음과 같은 해를 갖는다.

$$ \displaystyle \psi (x) = Ae^{\kappa x}+Be^{-\kappa x} $$

해가 제곱적분 가능한지 확인해보자.

$$ \displaystyle \begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty} |\psi|^2 dx =&\ \int_{-\infty}^{\infty} |Ae^{\kappa x}+Be^{-\kappa x}|^2 dx \\ =&\ \int_{-\infty}^{\infty} (A^2e^{2\kappa x}+2AB + B^2e^{-2\kappa x}) dx \\ =&\ \left[ \frac{A^2}{2\kappa} e^{2\kappa x}+2ABx + \frac{B^2}{-2\kappa} e^{-2\kappa x} \right]_{-\infty}^{\infty} \\ =&\ \infty \end{align*} $$

해가 제곱적분 가능하지않고 발산하므로, 이 $\psi$는 물리적으로 다루고자하는 대상이 아니라는 의미이다. 따라서 $U>E$인 구간에서는 파동함수가 존재하지 않는다.

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