유계 선형 작용소의 확장 정리

유계 선형 작용소의 확장 정리

정리1 2

$V_{1}, V_{2}$를 바나흐 공간이라고 하자. $W \subset V_{1}$를 조밀 부분공간이라고 하자. 그리고 $T : W \to V_{2}$를 유계 선형 작용소라고 하자. 그러면 모든 $\mathbf{v} \in W$에 대해서 $\widetilde{T}(\mathbf{v}) = T(\mathbf{v})$를 만족하는 유계 선형 작용소

$$ \widetilde{T} : V_{1} \to V_{2} $$

유일하게 존재한다. 또한 다음이 성립한다.

$$ \| \widetilde{T} \| = \left\| T \right\| $$

설명

$\widetilde{T}$를 $T$의 확장이라 한다.

1.gif 정리에서 $\widetilde{T}$가 구체적으로 어떻게 생겼는지는 말하지 않았지만, 증명 과정에서 구체적으로 주어지게 된다. 조밀한 부분공간에서 확장이 가능한 만큼 수열의 수렴을 통해 정의된다. 이렇게 확장시킨 작용소 $\widetilde{T}$는 자연스럽게 $T$로 표기하여 사용하기도 한다.

유계선형작용소 $T : W \to V$와 $\mathbf{w} \in \overline{W}\setminus W$가 있을 때, $T \mathbf{w}$를 정의하고 싶지만 $T$의 정의역은 $W$로 제한되므로 불가능하다. 이때 $\mathbf{w}$로 수렴하는 수열 $\left\{ \mathbf{w}_{k} \right\}$는 $W$에 존재하므로 $T \mathbf{w}$를 ‘간접적’으로 다음과 같이 그럴듯하게 정의할 수 있다.

$$ T (\mathbf{w}) := \lim \limits_{k \to \infty} T(\mathbf{w}_{k}) $$

이를 말로 풀어쓰면 다음과 같다.

$\mathbf{w}$는 원래 $T$의 정의역에 속해있지 않으므로 $T \mathbf{w}$를 정의할 수 없다. 하지만 $\mathbf{w}$로 수렴하는 수열 $\left\{ \mathbf{w}_{k} \right\}$가 $T$의 정의역안에 있다. 따라서 $\mathbf{w}_{k} \to \mathbf{w}$일 때 $T \mathbf{w}_{k} \to T \mathbf{w}$일테니 $T \mathbf{w} := \lim\limits_{k\to \infty}T \mathbf{w}_{k}$와 같이 정의하면 자연스럽고 그럴듯하다. 그리고 이것이 실제로 가능하다.

따라서 어떤 바나흐 공간 $W$에서 정의된 유계선형작용소 $T : W \to V$는 $W$에서 $V$로의 매핑을 유지한채로 $W$의 클로져 $\overline{W}$까지는 위와 같은 방식으로 정의역을 확장시킬 수 있음 위 정리로부터 보장된다.

증명

$\mathbf{v} \in V_{1}$이라고 하자. $W$가 $V_{1}$에서 조밀하다고 가정했으므로, $\mathbf{v}$로 수렴하는 수열 $\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}$가 존재한다.

$$ \lim \limits_{k \to \infty} \mathbf{v}_{k} = \mathbf{v} $$

$T$가 유계이고 선형이므로 $\ell, k \in \N$에 대해서 다음이 성립한다.

$$ \left\| T \mathbf{v}_{k} - T \mathbf{v}_{\ell} \right\| = \left\| T (\mathbf{v}_{k} - \mathbf{v}_{\ell}) \right\| \le \left\| T \right\| \left\| \mathbf{v}_{k} - \mathbf{v}_{\ell} \right\| $$

이때 $\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}$가 코시수열이므로 위 식에 의해서 $\left\{ T \mathbf{v}_{k} \right\}$도 코시수열이 된다. 따라서 $V_{2}$는 바나흐 공간이므로 $\left\{ T \mathbf{v}_{k} \right\}$는 $V_{2}$내의 어떤 원소로 수렴하게 된다. 이로부터 $\widetilde{T}$를 다음과 같이 정의하자.

$$ \widetilde{T} \mathbf{v} := \lim \limits_{k \to \infty} T\mathbf{v}_{k} $$

그러면 모든 $\mathbf{v} \in W$에 대해서는 유계선형작용소의 성질에 의해 $T \mathbf{v}_{k} \to T \mathbf{v}$가 성립하므로, $\widetilde{T} \mathbf{v} = T \mathbf{v}$를 만족한다. 이제 $\mathbf{v} \in V_{1}\setminus W$인 경우에 대해서 생각해보자.


  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p55 ↩︎

  2. Erwin Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications (1989), p99-101 ↩︎

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