약한 콘 조건

약한 콘 조건

The Weak Cone Condition

정의1

$\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$를 열린 집합이라고 하자. 임의의 점 $x \in \Omega$가 주어졌다고 하자. $R(x)$를 $x$에서부터 $y \in \Omega$까지의 선분이 다시 $\Omega$안에 포함되도록 하는 $y$들의 집합이라고 하자. 즉 $R(x)$는 $x$에서부터 시작되는 $\Omega$안의 모든 선분 위의 점들의 집합이다. 그리고 $\Gamma (x)$를 아래와 같이 정의하자.

$$ \begin{align*} \Gamma (x) :=&\ \left\{ y \in R(x) : |y-x| \lt 1\right\} \\ =&\ R(x) \cap B(x,1) \end{align*} $$

만약 아래의 조건을 만족하는 $\delta \gt 0$가 존재하면 $\Omega$가 약한 콘 조건weak cone condition을 만족한다고 말한다.

$$ \mu_n \Big( \Gamma (x) \Big) \ge \delta, \quad \forall\ x \in \Omega $$

이때 $\mu_n$은 르벡 측도이다.


  1. Robert A. Adams and John J. F. Foutnier, Sobolev Space (2nd Edition, 2003), p82 ↩︎

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