상적분은 하적분보다 크거나 같다

상적분은 하적분보다 크거나 같다

the upper integral is greater than or equal to the lower integral

해당 글은 리만-스틸체스 적분을 기준으로 작성되었다. $\alpha=\alpha(x)=x$로 두면 리만적분과 같다.

정리1

임의의 분할에 대하여 리만(-스틸체스) 상합리만(-스틸체스) 하합보다 항상 크거나 같다.

$$ \underline { \int _a ^b} f d\alpha \le \overline {\int _a^b} f d\alpha $$

증명

증명에 앞서 다음과 같이 주어졌다고 하자.


$P_{1}, P_{2}$를 $[a,b]$의 분할이라 하고 $P^{\ast}$를 이 둘의 공통세분이라 하자. 세분의 상합(하합)은 분할보다 더 작으므로(크므로) 다음이 성립한다.

$$ \begin{equation} \begin{aligned} &&L(P_{1},f,\alpha) \le L(P^{\ast},f,\alpha) &\le U(P^{\ast},f,\alpha) \le U(P_{2},f,\alpha) \\ \implies&& L(P_{1},f,\alpha) &\le U(P_{2},f,\alpha) \end{aligned} \label{eq1} \end{equation} $$

여기서 $P_{2}$를 고정시키고 모든 $P_{1}$에 대해서 $\sup$을 취한다. 그러면 하적분의 정의에 의해 다음을 얻는다.

$$ \sup\limits_{P_{1}} L(P_{1},f,\alpha) = \underline {\int _a ^b} f d\alpha \le U(P_{2}, f , \alpha) $$

마찬가지로 위의 식에 $P_{2}$에 대해 $\inf$을 취해주면 상적분의 정의에 의해 다음을 얻는다.

$$ \underline {\int _a ^b} f d\alpha \le \inf \limits_{P_{2}} U(P_{2}, f , \alpha) = \overline {\int _a ^b} f d\alpha $$

따라서 다음의 결과를 얻는다.

$$ \underline{\int _a ^b} f d\alpha \le \overline { \int _a ^b} f d\alpha $$

따름정리

어떤 임의의 두 분할에 대해서도 리만-스틸체스 상합이 하합보다 크거나 같다.

$$ L(P_{1},f,\alpha) \le U(P_{2}, f, \alpha) \quad \forall P_{1},\ P_{2} $$


$\eqref{eq1}$에 의해서 성립한다.


  1. Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976), p124 ↩︎

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