균등 C^m-정칙성 조건

균등 C^m-정칙성 조건

The Uniform C^m Regularity Condition

정의1

만약 $\mathrm{bdry}\Omega$의 국소 유한 오픈 커버 $\left\{ U_j \right\}$가 존재하고, 그에 대응되는 $U_j$를 볼 $B=\left\{ y\in \mathbb{R}^n : |y| \lt 1 \right\}$로 보내는 $m$-스무스 변환의 수열 $\left\{ \Phi_j \right\}$와 역변환 $\Psi _j=\Phi_j^{-1}$이 존재해서 $\text{(i)}$ ~ $\text{(iv)}$를 만족하면, 오픈 셋 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$이 균등 $C^{m}$-정칙성 조건uniform $C^{m}$-regularity condition 을 만족한다고 한다.

$\text{(i)}$ 어떤 $\delta >0$에 대해서, $\Omega_{<\delta}$$\subset \bigcup \nolimits_{j=1}^\infty \Psi \Big( \left\{y\in \mathbb{R}^n : |y| \lt \frac{1}{2} \right\} \Big)$이다.

$\text{(ii)}$ 각각의 $j$에 대해서, $\Phi_j(U_j \cap \Omega )=\left\{ y \in B : y_n \gt 0 \right\}$

$\text{(iii)}$ 만약 $(\phi_{j,1}, \dots, \phi_{j,n})$과 $(\psi_{j,1}, \dots, \psi_{j,n})$이 $\Phi_j$와 $\Psi_j$의 성분이면, $0 \lt |\alpha| \lt m$을 만족하는 모든 $\alpha$, $1\le i \le n$, 모든 $j$에 대해서 아래의 식을 만족하는 양수 $M$이 존재한다.

$$ | D^{\alpha} \phi_{j,i}(x) | \le M,\quad x\in U_j \\ | D^{\alpha} \psi_{j,i}(y) | \le M,\quad y\in B $$

$\text{(iv)}$ 어떤 양수 $R$이 존재하여, $U_j$의 $R+1$개 만큼의 모든 콜렉션들의 교집합은 공집합이다.


  1. Robert A. Adams and John J. F. Foutnier, Sobolev Space (2nd Edition, 2003), p84 ↩︎

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