허미션 연산자의 서로 다른 두 고유함수는 직교함을 증명

허미션 연산자의 서로 다른 두 고유함수는 직교함을 증명


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선형대수학에서의 증명

임의의 허미션 연산자$(\mathrm{Hermitian\ Operator})$ $A$의 서로 다른 두 고유함수(고유벡터)는 서로 수직이다.$\begin{cases} A\psi_n=a_n\psi_n \\ A\psi_m=a_m\psi_m \end{cases} $ 일 때, $<\psi_n|\psi_m>=0$ 혹은 $\psi_n \perp \psi_m$

증명

$<\psi_n|A\psi_m>=a_m<\psi_n|\psi_m> $$ <A\psi_n|\psi_m>={a_n}^{\ast}<\psi_n|\psi_m>=a_n<\psi_n|\psi_m>$ (허미션 연산자의 고유값은 항상 실수)또한 $A$는 허미션 연산자이므로$<A\psi_n|\psi_m>=<\psi_n|A^\dagger\psi_m>=<\psi_n|A\psi_m>$ (증명은 링크의 3번 항목 참고)따라서 $<\psi_n|A\psi_m>- $$ <A\psi_n|\psi_m> $$ =a_m<\psi_n|\psi_m> $$ -a_n<\psi_n|\psi_m>=0 $$ \implies (a_m-a_n)<\psi_n|\psi_m>=0$이 때 $a_m \ne a_n$이므로 $<\psi_n|\psi_m>=0$

내적$\mathrm{inner\ product}$의 결과가 $0$일 때 두 벡터는 수직이라고 한다. 위의 사실을 이용하여 규격화된 두 고유함수의 내적을 일반적으로 표현할 수 있다.

허미션 연산자 $A$의 서로 다른 두 고유함수의 내적은 $<\psi_n|\psi_m>=\delta_{nm}$

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