강한 국소 립시츠 조건

강한 국소 립시츠 조건

The Strong Local Lipschitz Condition

정의1

만약 $\delta \gt 0$, $M \gt 0$과 $\mathrm{bdry}\Omega$의 국소 유한 오픈 커버 $\left\{ U_j \right\}$가 존재해서, 각각의 $j$에 대해서 $n-1$개의 변수를 가지는 실수값을 갖는 함수 $f_j$가 $\text{(i)}$ ~ $\text{(iv)}$를 만족하면, 오픈 셋 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$이 강한 국소 립시츠 조건strong local Lipschitz condition을 만족한다고 한다.

$\text{(i)}$ $|x-y| \lt \delta$를 만족하는 모든 짝 $x,y\in$ $\Omega_{\lt \delta}$에 대해서 아래의 조건을 만족하는 $j$가 존재한다.

$$ x,y\in V_j=U_{j\gt\delta}=\left\{ z\in U_j : \mathrm{dist}(z,\ \mathrm{bdry}U_j) \gt \delta\right\} $$

$\text{(ii)}$ 각각의 $f_j$가 립시츠 상수 $M$에 대해서 립시츠 조건을 만족시킨다. 즉, $\xi=(\xi_1, \dots, \xi_{n-1} ), \rho=(\rho_1, \dots, \rho_{n-1})\in \mathbb{R}^{n-1}$이면

$$ |f(\xi)-f(\rho)|\le M|\xi-\rho| $$

$\text{(iii)}$ 어떤 직교 좌표 시스템 $(\zeta_{j,1},\ \cdots,\ \zeta_{j,n})\in U_j$에 대해서, $\Omega \cap U_j$가 아래의 부등식으로 표현된다. $$ \zeta_{j,n} \gt f_j(\zeta_{j,1},\ \cdots,\ \zeta_{j,n-1}) $$

$\text{(iv)}$ 어떤 양수 $R$이 존재하여, $U_j$의 $R+1$개 만큼의 모든 콜렉션들의 교집합은 공집합이다.


  1. Robert A. Adams and John J. F. Foutnier, Sobolev Space (2nd Edition, 2003), p83 ↩︎

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