미분기하학에서 제2 기본 형식

미분기하학에서 제2 기본 형식

The Second Fundamental Form in Differential Geometry

빌드업1

$\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}$를 좌표조각사상이라 하자. 미분 기하학에서는 기하적인 대상의 특징과 성질을 미분을 통해 설명한다. 따라서 좌표조각 $\mathbf{x}$의 도함수들이 각종 정리와 공식에서 등장하게 된다. 가령 1계 도함수 $\left\{ \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \right\}$들은 탄젠트 공간 $T_{p}M$의 기저가 된다. 따라서 임의의 탄젠트 벡터 $\mathbf{X} \in T_{p}M$은 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$ \mathbf{X} = X^{1}\mathbf{x}_{1} + X^{2}\mathbf{x}_{2} $$

그럼 이제 좌표조각사상의 2계 도함수 $\mathbf{x}_{ij} = \dfrac{\partial^{2} \mathbf{x}}{\partial u_{i} \partial u_{j}}$를 생각해보자. 이는 $\mathbb{R}^{3}$의 벡터이므로 $\mathbb{R}^{3}$의 기저의 선형결합으로 나타낼 수 있다. 그런데 우리는 이미 $\mathbb{R}^{3}$에서 서로 수직한 3개의 벡터를 알고 있는데, 그것은 1계 도함수들과 단위 노멀이다.

$$ \left\{ \mathbf{n}, \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \right\} $$

그러면 $\mathbf{x}_{ij}$는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$ \mathbf{x}_{ij} = a_{ij} \mathbf{n} + b^{1}_{ij} \mathbf{x}_{1} + b^{2}_{ij} \mathbf{x}_{2} $$

$\mathbf{x}_{ij}$들의 $\mathbf{n}$항의 계수 $a_{ij} = \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{n} \right\rangle$들을 $\mathbf{x}$의 제2 기본 형식의 계수coefficient of the second fundamental form라 한다.

정의

$\mathbf{x}_{ij}$와 단위 노멀 $\mathbf{n}$의 내적을 $L_{ij}$라고 표기하고 제2 기본 형식의 계수라 한다.

$$ L_{ij} := \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{n} \right\rangle $$

$\mathbf{X}, \mathbf{Y}$를 곡면 $\mathbf{x}$의 탄젠트 공간 $T_{P}M$의 벡터라고 하자. 탄젠트 공간의 기저는 $\left\{ \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \right\}$이므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$ \mathbf{X} = X^{1}\mathbf{x}_{1} + X^{2}\mathbf{x}_{2} \quad \text{and} \quad \mathbf{Y} = Y^{1}\mathbf{x}_{1} + Y^{2}\mathbf{x}_{2} $$

다음과 같은 쌍선형 형식 $II$을 곡면 $\mathbf{x}$의 제2 기본 형식the second fundamental form이라 정의한다.

$$ II (\mathbf{X}, \mathbf{Y}) = \sum \limits_{i=1}^{2} \sum \limits_{j=1}^{2} L_{ij}X^{i}Y^{j} = L_{ij}X^{i}Y^{j} = \begin{bmatrix} X^{1} & X^{2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} L_{11} & L_{12} \\ L_{21} & L_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} Y^{1} \\ Y^{2}\end{bmatrix} $$

$\sum$이 생략된 식은 아인슈타인 표기법을 사용한 것이다.

설명

$\mathbf{x}_{12} = \mathbf{x}_{21}$이므로 $L_{12} = L_{21}$이다.

$\mathbf{x}_{ij}$의 노멀 성분normal component $a_{ij}$를 $L_{ij}$라 표기하고 제2 기본형식의 계수라 부르고, $\mathbf{x}_{ij}$의 탄젠트 성분tangential components $b_{ij}^{k}$를 $\Gamma_{ij}^{k}$라 표기하고 크리스토펠 심볼이라 부른다.

제1 기본 형식이 곡면 위의 곡선의 길이와 관련된 함수였다면, 제2 기본 형식은 곡면이 얼마나 굽어있는지에 대한 지표인 법곡률 $\kappa_{n}$과 관련이 있다.

제1 기본 형식은 리만 메트릭이라는 다른 이름으로도 불리는 반면, 제2 기본 형식은 그냥 제2 기본 형식으로 불린다.

같이보기


  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p104-105 ↩︎

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