📂기하학

미분기하학에서 제2 기본 형식

The Second Fundamental Form in Differential Geometry

빌드업¹

$\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}$를 좌표조각사상이라 하자. 미분 기하학에서는 기하적인 대상의 특징과 성질을 미분을 통해 설명한다. 따라서 좌표조각 $\mathbf{x}$의 도함수들이 각종 정리와 공식에서 등장하게 된다. 가령 1계 도함수 $\left\{ \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \right\}$들은 탄젠트 공간 $T_{p}M$의 기저가 된다. 따라서 임의의 탄젠트 벡터 $\mathbf{X} \in T_{p}M$은 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$ \mathbf{X} = X^{1}\mathbf{x}_{1} + X^{2}\mathbf{x}_{2} $$

그럼 이제 좌표조각사상의 2계 도함수 $\mathbf{x}_{ij} = \dfrac{\partial^{2} \mathbf{x}}{\partial u_{i} \partial u_{j}}$를 생각해보자. 이는 $\mathbb{R}^{3}$의 벡터이므로 $\mathbb{R}^{3}$의 기저의 선형결합으로 나타낼 수 있다. 그런데 우리는 이미 $\mathbb{R}^{3}$에서 서로 수직한 3개의 벡터를 알고 있는데, 그것은 1계 도함수들과 단위 노멀이다.

$$ \left\{ \mathbf{n}, \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \right\} $$

그러면 $\mathbf{x}_{ij}$는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$ \mathbf{x}_{ij} = a_{ij} \mathbf{n} + b^{1}_{ij} \mathbf{x}_{1} + b^{2}_{ij} \mathbf{x}_{2} $$

$\mathbf{x}_{ij}$들의 $\mathbf{n}$항의 계수 $a_{ij} = \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{n} \right\rangle$들을 $\mathbf{x}$의 제2 기본 형식의 계수^{coefficient of the second fundamental form}라 한다.

정의

$\mathbf{x}_{ij}$와 단위 노멀 $\mathbf{n}$의 내적을 $L_{ij}$라고 표기하고 제2 기본 형식의 계수라 한다.

$$ L_{ij} := \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{n} \right\rangle $$

$\mathbf{X}, \mathbf{Y}$를 곡면 $\mathbf{x}$의 탄젠트 공간 $T_{P}M$의 벡터라고 하자. 탄젠트 공간의 기저는 $\left\{ \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \right\}$이므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$ \mathbf{X} = X^{1}\mathbf{x}_{1} + X^{2}\mathbf{x}_{2} \quad \text{and} \quad \mathbf{Y} = Y^{1}\mathbf{x}_{1} + Y^{2}\mathbf{x}_{2} $$

다음과 같은 쌍선형 형식 $II$을 곡면 $\mathbf{x}$의 제2 기본 형식^{the second fundamental form}이라 정의한다.

$$ II (\mathbf{X}, \mathbf{Y}) = \sum \limits_{i=1}^{2} \sum \limits_{j=1}^{2} L_{ij}X^{i}Y^{j} = L_{ij}X^{i}Y^{j} = \begin{bmatrix} X^{1} & X^{2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} L_{11} & L_{12} \\ L_{21} & L_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} Y^{1} \\ Y^{2}\end{bmatrix} $$

$\sum$이 생략된 식은 아인슈타인 표기법을 사용한 것이다.

설명

$\mathbf{x}_{12} = \mathbf{x}_{21}$이므로 $L_{12} = L_{21}$이다.

$\mathbf{x}_{ij}$의 노멀 성분^{normal component} $a_{ij}$를 $L_{ij}$라 표기하고 제2 기본형식의 계수라 부르고, $\mathbf{x}_{ij}$의 탄젠트 성분^{tangential components} $b_{ij}^{k}$를 $\Gamma_{ij}^{k}$라 표기하고 크리스토펠 심볼이라 부른다.

제1 기본 형식이 곡면 위의 곡선의 길이와 관련된 함수였다면, 제2 기본 형식은 곡면이 얼마나 굽어있는지에 대한 지표인 법곡률 $\kappa_{n}$과 관련이 있다.

제1 기본 형식은 리만 메트릭이라는 다른 이름으로도 불리는 반면, 제2 기본 형식은 그냥 제2 기본 형식으로 불린다.

같이보기

• 제1 기본 형식
• 크리스토펠 심볼