구면 좌표계에서의 슈뢰딩거 방정식
📂양자역학
구면 좌표계에서의 슈뢰딩거 방정식
the schrodinger equation in spherical coordinates
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3차원에서 시간에 무관한
슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.
$$
-\frac{\hbar^{2}}{2M}\nabla^{2}\psi+V\psi=E\psi
$$
후에 나올 분리상수 $m$과 헷갈릴 염려가 있어 슈뢰딩거 방정식에서 입자의 질량을 나타내는 $m$은 대문자로 나타내겠다. 보통 포텐셜 함수는 원점과의 거리에만 의존하므로 $V=V(r)$이고 구면좌표계로 방정식을 푸는 것이 좋다.
구면 좌표계에서 라플라스 방정식은
$$
\nabla ^2 f = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} \left( r^2\frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left( \sin\theta \frac{\partial f}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 f}{\partial^2 \phi}=0
$$
따라서 구면좌표계에서 슈뢰딩거 방정식은 아래와 같다.
$$
-\frac{\hbar^{2}}{2M}\left[\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} \left( r^2\frac{\partial \psi}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left( \sin\theta \frac{\partial \psi}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 \psi}{\partial^2 \phi} \right]+V\psi=E\psi \tag{1}
$$
그리고 $\psi$가 아래와 같이 변수분리 가능하다고 하자.
$$
\psi(r,\theta,\phi)=R(r)\Theta (\theta) \Phi( \phi)
$$
그러면 식 $(1)$은
$$
-\frac{\hbar^{2}}{2M}\left[\frac{\Theta \Phi}{r^2}\frac{d}{d r} \left( r^2\frac{d R}{d r} \right) + \frac{R \Phi}{r^2\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left( \sin\theta \frac{d \Theta}{d \theta} \right) + \frac{R \Theta}{r^2\sin^2\theta}\frac{d^2 \Phi}{d^2 \phi} \right]+VR\Theta \Phi=ER\Theta \Phi
$$
우변의 항을 좌변으로 이항하고, 양변에 $-\dfrac{2Mr^{2}}{\hbar ^{2}}\dfrac{1}{R\Theta \Phi}$를 곱해서 정리하면 아래와 같다.
$$
\left[ \frac{1}{R}\frac{d}{d r} \left( r^2\frac{d R}{d r} \right) -\frac{2Mr^{2}}{\hbar ^{2}}(V(r)-E) \right]+\left[ \frac{1}{\Theta \sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left( \sin\theta \frac{d \Theta}{d \theta} \right) + \frac{1}{\Phi\sin^2\theta}\frac{d^2 \Phi}{d^2 \phi} \right]=0
$$
포텐셜항과 상수가 더 추가됐지만 기본적으로
구면좌표계에 대한 라플라스 방정식을 푸는 것과 큰 틀은 같다. 풀이에 대한 설명은 링크가 더 자세하니 잘 모르겠으면 참고하라. 첫번째 항은 오로지 $r$에 대한 항이고 두번째 항은 $\theta$, $\phi$에만 영향을 받는 항이므로 각괄호 부분은 상수이다. 첫 항을 $l(l+1)$이라 두자. 그러면 둘째 항은 $-l(l+1)$이다.
$$
\begin{align*}
\frac{1}{R}\frac{d}{d r} \left( r^2\frac{d R}{d r} \right) -\frac{2Mr^{2}}{\hbar ^{2}}(V(r)-E) =l(l+1) \tag{2}
\\ \frac{1}{\Theta \sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left( \sin\theta \frac{d \Theta}{d \theta} \right) + \frac{1}{\Phi\sin^2\theta}\frac{d^2 \Phi}{d^2 \phi} =-l(l+1) \tag{3}
\end{align*}
$$
각도에 대한 방정식 $(3)$의 해는 특별히
구면 조화 함수라는 이름이 붙어있으며 다음과 같다.
$$
Y_{l}^{m}(\theta, \phi)=e^{im\phi}P_{l}^{m}(\cos \theta)
$$
$(3)$에서 $m$이 직접적으로 보이지는 않지만 푸는 과정에서 $\theta$와 $\phi$를 변수분리할 때 분리상수로 등장한다. 자세한 과정은 ‘
구면 조화 함수‘를 참고하자. $P_{l}^{m}(\cos\theta)$는
연관 르장드르 다항식이다.
규격화를 하면 아래와 같다.
$$
Y_{l}^{m}(\theta,\phi)=\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}P_{l}^{m}(\cos\theta)e^{im\phi}
$$
이제 지름성분의 방정식 $(2)$가 남았다. 양변에 $R$을 곱하고 우변에 에너지 $E$에 대한 항만 남도록 정리하면
$$
-\frac{ \hbar^{2} }{ 2Mr^{2} }\frac{d}{d r} \left( r^2\frac{d R}{d r} \right) +\left(V- \frac{\hbar ^{2}}{2M}\frac{l(l+1)}{r^{2}} \right)R =ER \tag{4}
$$
이때 $rR(r)=u(r)$로 치환하면 방정식이 간단해진다.
$$
\begin{align*}
R&=\frac{u}{r}
\\ \frac{ dR }{ dr }&=\frac{1}{r}\frac{ d u }{ d r}-\frac{1}{r^{2}}u
\\ \frac{ d }{ d r }\left(r^{2} \frac{ d R}{ d r } \right)&=\frac{ d }{ dr }\left( r \frac{ d u }{ dr }-u \right)=r\frac{ d ^{2}u}{ d^{2} }
\end{align*}
$$
이므로 $(4)$는
$$
\begin{align*}
&&-\frac{ \hbar^{2} }{ 2Mr^{2} }r\frac{ d ^{2}u}{ dr^{2} } +\left(V- \frac{\hbar ^{2}}{2M}\frac{l(l+1)}{r^{2}} \right)\frac{u}{r} =E\frac{u}{r}
\\ \implies &&-\frac{ \hbar^{2} }{ 2M }\frac{ d ^{2}u}{ dr^{2} } +\left(V- \frac{\hbar ^{2}}{2M}\frac{l(l+1)}{r^{2}} \right)u=Eu
\end{align*}
$$
이 꼴은 아래의
1차원 슈뢰딩거 방정식과 매우 유사하다.
$$
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{ d ^{2} \psi}{ d x^{2} }+V\psi=E\psi
$$
차이점은 $V=V- \frac{\hbar ^{2}}{2M}\frac{l(l+1)}{r^{2}} $로 바뀌었다는 것뿐이다. $\frac{1}{r^{2}}$에 비례하는 두번째 항을 원심력 항이라 부른다. $u(r)$도 $Y_{l}^{m}(\cos\theta)$와 마찬가지로
규격화 조건을 만족해야한다.
$$
\int_{0}^{\infty}|R(r)|^{2}r^{2}dr=\int _{0}^{\infty} |u(r)|^{2}dr
$$
$V(r)$에 대한 일반적인 풀이는 여기까지이고 이제 문제에서 포텐셜 함수 $V(r)$가 정확히 주어지면 그에 따라서 풀어낼 수 있다.
