극점에서의 유수

극점에서의 유수

정리 1

$\alpha$ 가 함수 $f: A \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 의 pole of order $m$, 즉 $\displaystyle f(z) = {{g(z)} \over { (z - \alpha)^m }}$ 으로 나타낼 수 있다고 하자. 여기서 $g$ 는 $\alpha$ 에서 해석적이며 $g(\alpha) \ne 0$ 이라고 하면 $$ \text{Res}_{\alpha} f(z) = {{g^{(m-1)} (\alpha)} \over {(m-1)!} } $$

유수정리를 통해 적분 문제를 유수를 구하는 문제로 바꿀 수 있는 것까진 좋은데, 유수를 구하는 게 적분만큼 어렵다면 소용 없는 일이다. 유수정리를 쓸 때마다 정의에 따라서 로랑 전개를 하고 유수를 구해내야한다면 현실적으로 계산이 너무 힘들다. 해서 학자들은 유수를 쉽게 구하는 방법을 찾아나섰고, 적어도 극에 대해서는 굉장히 쉽고 빠르게 유수를 구하는 공식을 찾아냈다. 다만 이 정리의 경우에도 $g$ 를 $(m-1)$ 번 미분해야하기 때문에 $m \ge 3$ 쯤 되면 그냥 유수의 정의로 구하는 게 더 편할 수 있다.

증명

$g$ 는 $\alpha$ 에서 해석적이므로 테일러 전개를 통해 $\displaystyle g(z) = \sum_{n=0}^{\infty} {{g^{(n)} ( \alpha ) ( z - \alpha )^{n} } \over {n!}}$ 로 나타낼 수 있다. 가정에 따라 $$ \begin{align*} f(z) =& \sum_{n=0}^{\infty} {{g^{(n)} ( \alpha ) ( z - \alpha )^{n-m} } \over {n!}} \\ =& \sum_{n=0}^{\infty} {{g^{(n)} ( \alpha ) } \over {n! ( z - \alpha )^{m-n}} } \end{align*} $$ 유수의 정의에 의해, $\displaystyle {{1} \over {z - \alpha}}$ 의 계수 $\displaystyle {{g^{(m-1)} (\alpha)} \over {(m-1)!} }$ 은 $\alpha$ 에서 $f$ 의 유수 $\text{Res}_{\alpha} f(z)$ 가 된다.

특히 $m=1$, 즉 $\alpha$ 가 단순극이면 $\displaystyle \text{Res}_{\alpha} f(z) = g(\alpha) = \lim_{z \to \alpha} (z - \alpha) f(z)$ 이 되어 아주 편리하게 문제를 풀 수 있다.


  1. Osborne (1999). Complex variables and their applications: p156. ↩︎

댓글