i의 거듭제곱과 e의 거듭제곱의 관계

i의 거듭제곱과 e의 거듭제곱의 관계

정리

자연상수 $e$와 허수 $i$의 거듭제곱은 다음과 같은 관계를 만족한다.

$$ e^{i\frac{l \pi}{2}} = i^{l} $$

증명

$e^{ i \frac{l \pi}{2}}=\cos\frac{l \pi}{2}+i\sin \frac{l \pi}{2}$이므로 $l=0$일 때,

$$ e^{ 0}= 1 =i^{0} $$

$l=1$일 때,

$$ e^{ i \frac{\pi}{2}}=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}=i=i^{1} $$

$l=2$일 때,

$$ e^{ i \pi}=\cos \pi+i\sin \pi=-1=i^{2} $$

$l=3$일 때,

$$ e^{ i \frac{3\pi}{2}}=\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin \frac{3\pi}{2}=-i=i^{3} $$

이후 반복되므로

$$ e^{ i \frac{l \pi}{2}}=i^l $$

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