제2 기본형식과 바인가르텡 맵의 관계

제2 기본형식과 바인가르텡 맵의 관계

The Relation Between The Second Fundamental Form and Weingarten Map

정리1

곡면 $M$ 위의 점 $p$에 대해서 $X, Y \in T_{p}M$을 탄젠트 벡터라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$ II(\mathbf{X}, \mathbf{Y}) = \left\langle L(\mathbf{X}), \mathbf{Y} \right\rangle = \left\langle \mathbf{X}, L(\mathbf{Y}) \right\rangle $$

여기서 $L$은 바인가르텡 맵이다.

설명

다시 말해 바인가르텡 맵 $L$은 자기 수반self-adjoint, symmetric인 선형변환이다.

증명

바인가르텡 맵의 성질

${L^{l}}_{k} = \sum \limits_{i} L_{ik}g^{il}$이라고 정의하면, 다음이 성립한다.

$$L(\mathbf{x}_{k}) = \sum_{l} {L^{l}}_{k}\mathbf{x}_{l}$$

여기서 $L_{ij}$는 제2 기본형식의 계수, $[g^{il}]$은 제1 기본형식 계수행렬의 역행렬이다.

$\mathbf{X} = X^{i}\mathbf{x}_{i}, \mathbf{Y} = Y^{j}\mathbf{x}_{j}$라고 하자. 그러면 바인가르텡 맵의 성질에 의해 다음이 성립한다. 아인슈타인 노테이션을 사용하면,

$$ \begin{align*} \left\langle L(\mathbf{X}) , \mathbf{Y} \right\rangle =&\ \left\langle X^{i}{L^{l}}_{i}\mathbf{x}_{l}, Y^{j}\mathbf{x}_{j} \right\rangle \\ =&\ X^{i}Y^{j}{L^{l}}_{i} \left\langle \mathbf{x}_{l}, \mathbf{x}_{j} \right\rangle \\ =&\ X^{i}Y^{j}{L^{l}}_{i} g_{lj} \\ =&\ X^{i}Y^{j}L_{ki}g^{kl} g_{lj} \\ =&\ X^{i}Y^{j}L_{ki}\delta_{j}^{k} \\ =&\ X^{i}Y^{j}L_{ji} \\ =&\ II(\mathbf{X}, \mathbf{Y}) \end{align*} $$

$\left\langle \mathbf{X}, L(\mathbf{Y}) \right\rangle$에 대해서도 위와 같은 방법으로 같은 결과를 얻는다.


  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p127 ↩︎

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