르장드르 다항식의 재귀 관계
the recurrence relation of legendre polynomial
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$$ lP_l(x)=(2l-1)xP_{l-1}(x)-(l-1)P_{l-2}(x) \tag{b} $$
$$ xP^{\prime}_{l}(x)-P^{\prime}_{l-1}(x)=lP_{l}(x)\tag{c} $$
로드리게스 공식 $$ P_l(x)=\dfrac{1}{2^l l!} \dfrac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l $$
르장드르 다항식의 생성함수아래의 함수 $\Phi (x,h)$를 르장드르 다항식의 생성함수라 한다. $$ \Phi (x,h)=\frac{1}{\sqrt{1-2xh+h^{2}}},\quad |h|<1 $$ 생성함수는 아래의 식을 만족한다. $$ \Phi(x,h)=P_{0}(x)+hP_{1}(x)+h^{2}P_{2}(x)+\cdots =\sum \limits_{l=0}^{\infty}h^{l}P_{l}(x) $$
증명 $(a)$
우선 $P_{l}(x)$를 계산해보자. 로드리게스 공식에 의해 $$ \begin{align*} \frac{ d }{ dx }P_{l}(x) &=\dfrac{1}{2^l l!}\frac{ d }{ dx } \dfrac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l \\ &= \frac{ 1}{ 2^{l}l! }\frac{ d ^{l} }{ dx^{l} }\frac{ d }{ d x }(x^{2}-1)^{l} \\ &= \frac{2l}{ 2^{l}l! }\frac{ d ^{l} }{ dx^{l} }\left[ x(x^{2}-1)^{l-1} \right] \\ &= \frac{1}{ 2^{l-1}(l-1)! }\frac{ d ^{l-1} }{ dx^{l-1} }\left[ (x^{2}-1)^{l-1}+2(l-1)x^{2}(x^{2}-1)^{l-2} \right] \\ &= \frac{1}{ 2^{l-1}(l-1)! }\frac{ d ^{l-1} }{ dx^{l-1} }[(x^{2}-1)+2lx^{2}-2x^{2}] (x^{2}-1)^{l-2} \\ &= \frac{1}{ 2^{l-1}(l-1)! }\frac{ d ^{l-1} }{ dx^{l-1} }[(2l-1)x^{2}-1] (x^{2}-1)^{l-2} \end{align*} $$ 여기서 $l$ 대신 $l+1$를 대입하면 아래와 같다. $$ P^{\prime}_{l+1}(x)=\frac{1}{2l!}\frac{ d ^{l} }{ dx^{l} }(2l+1)x^{2}-1^{l-1} \tag{1} $$ 다시 로드리게스 공식에 $l$ 대신 $l-1$을 대입하고 미분하면 $$ \begin{align*} P^{\prime}_{l-1}(x) &=\frac{1}{2^{l-1}(l-1)!}\frac{ d }{ dx } \frac{ d^{l-1} }{ d x^{l-1} }(x^{2}-1)^{l-1} \\ &= \frac{2l}{2^{l}l!}\frac{ d^{l} }{ dx^{l} }(x^{2}-1)^{l-1} \tag{2} \end{align*} $$ 이제 $(1)-(2)$를 계산해보면 아래와 같다. $$ \begin{align*} P^{\prime}_{l+1}(x)-P^{\prime}_{l-1}(x) &=\frac{1}{2l!}\frac{ d ^{l} }{ dx^{l} }(2l+1)x^{2}-1^{l-1} -\frac{2l}{2^{l}l!}\frac{ d^{l} }{ dx^{l} }(x^{2}-1)^{l-1} \\ &= \frac{1}{2^{l}l!}\frac{ d ^{l} }{ d x^{l} }(2l+1)x^{2}-(2l+1)^{l-1} \\ &= \frac{1}{2^{l}l!}\frac{ d ^{l} }{ d x^{l} }(2l+1)(x^{2}-1)^{l} \\ &= \frac{2l+1}{2^{l}l!}\frac{ d ^{l} }{ d x^{l} }(x^{2}-1)^{l} \end{align*} $$ 로드리게스 공식에 의해 우변은 $(2l+1)P_{l}(x)$와 같으므로 $$ P^{\prime}_{l+1}(x)-P^{\prime}_{l-1}(x)=(2l+1)P_{l}(x) $$
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증명 $(b)$ 링크 참고■
증명 $(c)$ 생성함수가 $$ (x-h)\frac{ \partial \Phi}{ \partial x }=h\frac{ \partial \Phi}{ \partial h } $$ 를 만족하는 것은 쉽게 확인할 수 있다. 각자 해보자. 이제 생성함수의 급수꼴 $\Phi(x,h)=\sum\limits_{l=0}^{\infty}h^{l}P_{l}(x)$을 대입하면 $$ (x-h)\sum\limits_{l=0}^{\infty}h^{l}P^{\prime}_{l}(x)=h\sum\limits_{l=1}^{\infty}lh^{l-1}P_{l}(x) $$ 위 식은 $h$에 대해서 항등식이므로 $h^{l}$의 계수는 좌우변이 서로 같아야 한다. 좌우변의 $h^{l}$항만 비교해보면 $$ \begin{align} &&x[h^{l}P^{\prime}_{l}(x)]-h[h^{l-1}P^{\prime}_{l-1}(x)]=h[lh^{l-1}P_{l}(x)] \\ \implies && h^{l}[xP^{\prime}_{l}(x)-P^{\prime}_{l-1}(x)]=h^{l}lP_{l}(x) \\ \implies && xP^{\prime}_{l}(x)-P^{\prime}_{l-1}(x)=lP_{l}(x) \end{align} $$■