에르미트 다항식의 재귀 관계
the recurrence relation of hermite polynomial
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정리
에르미트 다항식은 아래와 같은 재귀 관계를 만족한다. $$ \begin{align*} H_{n}^{\prime}(x) &=2nH_{n-1}(x) \tag{a} \\ H_{n+1}(x) &= 2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x) \tag{b} \\ &=2xH_{n}(x)-H_{n}^{\prime}(x) \end{align*} $$
에르미트 다항식 $$ H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}\frac{ d ^{n}}{ dx^{n} }e^{-x^{2}} $$ 에르미트 다항식의 생성함수 $$ \Phi (x,t) = e^{2xt-t^{2}}=\sum \limits _{n=0}^{\infty} H_n(x)\frac{t^{n}}{n!} \tag{1} $$
증명 $(a)$ 생성함수를 이용한 풀이
$(1)$의 가운데, 오른쪽 식을 $x$에 대해서 미분하면 $$ 2te^{2xt-t^{2}}=\sum \limits _{n=0}^{\infty}H_{n}^{\prime}(x)\frac{t^{n}}{n!} $$ 그러면 좌변은 다시 $(1)$에 의해서 $$ 2t\sum \limits _{n=0}^{\infty} H_n(x)\frac{t^{n}}{n!}=2te^{2xt-t^{2}}=\sum \limits _{n=0}^{\infty}H_{n}^{\prime}(x)\frac{t^{n}}{n!} $$ 이를 정리하면 $$ \begin{align*} \sum \limits _{n=0}^{\infty}H_{n}^{\prime}(x)\frac{t^{n}}{n!} &= \sum \limits _{n=0}^{\infty} 2tH_n(x)\frac{t^{n}}{n!} \\ &= \sum \limits _{n=0}^{\infty}2(n+1)H_{n}(x)\frac{t^{n+1}}{(n+1)!} \end{align*} $$ 양변의 $\frac{t^{n}}{n!}$항의 계수를 비교해보면 $$ H_{n}^{\prime}(x)=2nH_{n-1}(x) $$
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증명 $(a)$ 미분 연산자 $D=\frac{ d }{ d x }$를 이용한 풀이
$$ \begin{align*} DH_{n}(x) &= D\left[ (-1)^{n}e^{x^{2}}D^{n}e^{-x^{2}} \right] \\ &= (-1)^{n}2x e^{x^{2}}D^{n}e^{-x^{2}}+(-1)^{n}e^{x^{2}}D^{n+1}e^{-x^{2}} \\ &= (-1)^{n}2x e^{x^{2}}D^{n}e^{-x^{2}}+(-1)^{n}e^{x^{2}}D^{n}\left[ (-2x)e^{-x^{2}}\right] \end{align*} $$ 여기서 두번째 항에 라이프니츠 규칙을 적용하면 $$ \begin{align*} DH_{n}(x) &= (-1)^{n}2x e^{x^{2}}D^{n}e^{-x^{2}}+(-1)^{n}e^{x^{2}}\sum \limits _{k=0}^{n}\frac{n!}{(n-k)!k!}D^{k}(-2x)D^{n-k}e^{-x^{2}} \\ &= (-1)^{n}2x e^{x^{2}}D^{n}e^{-x^{2}}+(-1)^{n}e^{x^{2}}\sum \limits _{k=0}^{1}\frac{n!}{(n-k)!k!}D^{k}(-2x)D^{n-k}e^{-x^{2}} \\ &= (-1)^{n}2x e^{x^{2}}D^{n}e^{-x^{2}}+(-1)^{n}e^{x^{2}}\left[ -2xD^{n}e^{-x^{2}}-2nD^{n-1}e^{-x^{2}} \right] \\ &= 2n(-1)^{n+1}e^{x^{2}}D^{n-1}e^{-x^{2}} \\ &= 2n(-1)^{n-1}e^{x^{2}}D^{n-1}e^{-x^{2}} \\ &=2n H_{n}(x) \end{align*} $$ 두번째 등호는 $k\ge 2$일 때 $D^{k}(-2x)=0$이기 때문에 성립한다.
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증명 $(b)$
증명 $(a)$와 같은 방식으로 증명할 수 있다. 생성함수를 $t$에 대해서 미분하면 $$ (2x-2t)\sum \limits _{n=0}^{\infty}H_{n}(x)\frac{t^{n}}{n!}=(2x-2t)e^{2xt-t^{2}}=\sum \limits _{n=0}^{\infty}H_{n}(x)\frac{t^{n-1}}{(n-1)!} $$ 정리하면 $$ \sum \limits _{n=0}^{\infty}H_{n}(x)\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}=\sum \limits _{n=0}^{\infty}\left[2xH_{n}(x)-2tH_{n}(x)\right]\frac{t^{n}}{n!} $$ 양변의 $\frac{t^{n}}{n!}$항의 계수를 비교해보면 $$ H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-2tH_{n}(x) $$ 또한 $(a)$에 의해서 $$ H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-H_{n}^{\prime}(x) $$
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