제2 기본형식의 성질

제2 기본형식의 성질

The Properties of The Second Fundamental Form

제2 기본형식의 성질

정의

제2 기본형식이란, 탄젠트 공간 $T_{p}M$위의 쌍선형 형식으로써 다음과 같이 정의된다. 두 탄젠트 벡터 $\mathbf{X}=\sum X^{i}\mathbf{x}_{i}$, $\mathbf{Y} = \sum Y^{j}\mathbf{x}_{j}$에 대해서,

$$ II ( \mathbf{X}, \mathbf{Y}) = \sum _{i,j} L_{ij} X^{i} Y^{j} $$

이때 계수 $L_{ij}$는 다음과 같다.

$$ L_{ij} = \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{n} \right\rangle $$

성질1

  1. $II$는 대칭이다.

  2. $\mathbf{T}$를 단위 속력 곡선 $\gamma$의 탄젠트 필드라고 하면, $\kappa_{n} = II (\mathbf{T}, \mathbf{T})$가 성립한다. $\kappa_{n}$은 법곡률이다.

  3. $\alpha, \beta$를 $\alpha(0) = \beta(0)$가 성립하는 정칙 곡선라고 하자. 만약 $\lambda \ne 0$에 대해서 두 곡선의 속도벡터가 $\alpha^{\prime}(0) = \lambda \beta ^{\prime}(0)$를 만족하면, $t=0$일 때 두 곡선의 법곡률 $\kappa_{n}$은 같다.

설명

  1. $t=0$일 때로 기술되었지만 당연히 임의의 $t$에 대해서 일반화된다.

    탄젠트는 속도 벡터의 크기를 $1$로 만든 것이므로 속도 벡터가 상수배라는 것은 두 곡선의 탄젠트에 대해서 $T_{\alpha} = \pm T_{\beta}$가 성립한다는 것과 같다.

    같은 방향의 탄젠트를 가지는 곡선의 법곡률은 같다는 의미로, 법곡률은 곡선에 의존하지 않고 탄젠트에 의해서만 결정된다는 것을 알 수 있다.

증명

성질1

$II$가 대칭이라는 것은 $II( \mathbf{X}, \mathbf{Y} ) = II( \mathbf{Y}, \mathbf{X} )$ 혹은 $L_{ij} = L_{ji}$가 성립한다는 의미이다. 좌표조각사상 $\mathbf{x}$는 충분히 매끄러운것으로 가정하므로, $\mathbf{x}_{ij} = \mathbf{x}_{ji}$이 성립한다. 따라서,

$$ L_{ij} = \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{n} \right\rangle = \left\langle \mathbf{x}_{ji}, \mathbf{n} \right\rangle = L_{ji} $$

성질2

증명

성질3

$\alpha$와 $\beta$의 $t=0$에서의 탄젠트 벡터를 각각 $T_{\alpha}, T_{\beta}$라고 하자. 그러면 $\alpha ^{\prime}(0) = \lambda \beta ^{\prime}(0)$이라 가정했으므로 다음이 성립한다.

$$ T_{\alpha} = \pm T_{\beta} $$

따라서 다음이 성립한다.

$$ II ( T_{\alpha}, T_{\alpha}) = II ( \pm T_{\beta}, \pm T_{\beta}) = II ( T_{\beta}, T_{\beta}) $$

그러므로 성질2에 의해서 $t=0$일 때 두 곡선의 법곡률은 같다.


  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p123 ↩︎

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