플랜체렐 정리
the plancherel theorem
정리
모든 $f,g \in L^{2}$에 대해서 다음의 식이 성립한다.
$$ \begin{align} \langle \hat{f},\hat{g} \rangle &= 2\pi \left\langle f,g \right\rangle \\[1em] \| \hat{f} \|_{2}^{2} &= 2\pi \| f \|_{2}^{2} \end{align} $$
이때 $\hat{f}$는 $f$의 푸리에 변환이다.
설명
적분꼴로 적으면 다음과 같다.
$$ \begin{align} \int \overline{f(x)}g(x)dx &= \dfrac{1}{2\pi} \int \overline{\hat{f}(\xi)} \hat{g}(\xi) d\xi \tag{1} \\[1em] \int \left| f(x) \right|^{2} dx &= \dfrac{1}{2\pi} \int | \hat{f}(\xi) |^{2} d\xi \end{align} $$
$f$의 푸리에 변환을 정의하는 과정을 보면 $f$가 $L^{1}$함수여야하고, $L^{1}$함수이기만 하면 된다. 하지만 우리는 $L^{1}$공간 뿐 아니라 $L^{2}$공간에서도 푸리에 변환을 자유자재로 쓸 수 있기를 원한다. $L^{2}$ 공간은 르벡공간 중 유일하게 힐베르트 공간이므로 이러한 문제의 중요함은 더 말할 필요도 없다. 플랜체렐 정리는 그게 실제로 가능하며, 푸리에 변환이라는 작용소 $\mathcal{F}$를 다음과 같이 취급해도 된다는 것을 말해준다.
$$ \mathcal{F} : L^{2} \to L^{2} $$
또한 푸리에 변환을 어떻게 정의하는지에 따라서 $(1)$, $(2)$ 앞의 상수가 사라지거나 $\sqrt{2\pi}$가 대신 붙는 등의 변화가 있을 수 있다. 식 $(2)$를 푸리에 변환에 대한 파세발 방정식이라고도 한다.