플랜체렐 정리

플랜체렐 정리

정리

모든 $f,g \in L^{2}$에 대해서 다음의 식이 성립한다.

$$ \begin{align} \langle \hat{f},\hat{g} \rangle &=2 \pi \left\langle f,g \right\rangle \label{eq1} \\ \| \hat{f} \|^{2} &= 2\pi \| f \| ^{2} \label{eq2} \end{align} $$

설명

$f$의 푸리에 변환을 정의하는 과정을 보면 $f$가 $L^{1}$함수여야하고, $L^{1}$함수이기만 하면 된다. 하지만 우리는 $L^{1}$공간 뿐 아니라 $L^{2}$공간에서도 푸리에 변환을 자유자재로 쓸 수 있기를 원한다. $L^{2}$ 공간은 르벡공간 중 유일하게 힐베르트 공간이므로 이러한 문제의 중요함은 더 말할 필요도 없다. 플랜체렐 정리는 그게 실제로 가능하며, 푸리에 변환이라는 작용소 $\mathcal{F}$를 다음과 같이 취급해도 된다는 것을 말해준다.

$$ \mathcal{F} : L^{2} \to L^{2} $$

또한 푸리에 변환을 어떻게 정의하는지에 따라서 $\eqref{eq1}$, $\eqref{eq2}$ 앞의 상수가 사라지거나 $\sqrt{2\pi}$가 대신 붙는 등의 변화가 있을 수 있다. 식 $\eqref{eq2}$를 푸리에 변환에 대한 파세발 방정식이라고도 한다.

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