르장드르 다항식의 직교성 📂수리물리

르장드르 다항식의 직교성

the orthogonality of legendre polynomials


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함수의 내적직교성

구간 $[-1,\ 1]$에서 르장드르 다항식은 직교 집합을 이룬다. $$ \int_{-1}^{1} P_l(x)P_m(x) dx =\frac{2}{2l+1}\delta_{lm} $$

증명

**Case 1. $l\ne m$ 르장드르 다항식은 드장드르 미분방정식의 해이므로 위의 미분방정식의 $y$ 자리에 대입하면 식이 성립한다.즉, $$ \dfrac{d}{dx} \left[ (1-x^2)P'_l(x) \right] + l(l+1)P_l (x)=0 $$

$$ \dfrac{d}{dx} \left[ (1-x^2)P'_m(x) \right] + m(m+1)P_m(x)=0 $$ 두 식에 각각 $P_m(x)$, $P_l(x)$를 곱하고 빼서 정리하면 $$ P_m\dfrac{d}{dx}\left[ (1-x^2)P'_l \right] - P_l\dfrac{d}{dx}[(1-x^2)P'_m]+ [l(l+1)-m(m+1)]P_lP_m=0 \tag{1} $$ 이때 $$ \begin{align*} &\dfrac{d}{dx}[(1-x^2)(P_mP'_l-P_lP'_m)] \\ =&\ \dfrac{d}{dx}[\color{blue}{(1-x^2)P'_l}P_m] -\dfrac{d}{dx}[\color{blue}{(1-x^2)P'_m}P_l] \end{align*} $$ 이다. 파란색으로 칠한 부분을 하나의 함수라고 생각하고 곱의 미분으로 식을 전개하면 $$ \begin{align*} &\dfrac{d}{dx}[(1-x^2)P'_l]P_m+(1-x^2)P'_lP'_m-\dfrac{d}{dx}[(1-x^2)P'_m]P_l-(1-x^2)P'_mP'_l \\ = &\dfrac{d}{dx}[(1-x^2)P'_l]P_m-\dfrac{d}{dx}[(1-x^2)P'_m]P_l \end{align*} $$ 이므로 $(1)$의 첫 두항과 같다. 따라서 $(1)$은 아래와 같이 정리할 수 있다. $$ \dfrac{d}{dx}[(1-x^2)(P_mP'_l-P_lP'_m)]+ [l(l+1)-m(m+1)]P_lP_m=0 $$ 양변을 구간 $[-1,\ 1]$에 대해서 적분하면 $$ (1-x^2)(P_mP'_l-P_lP'_m)\Big|_{-1}^{1} +[l(l+1)-m(m+1)]\int_{-1}^{1}P_l(x)P_m(x)dx=0 $$ 첫 항은 $(1-x^2)\Big|_{\pm 1}=0$이므로 $0$이다. 두번째 항에서 적분 앞의 상수는 $l\ne m$의 조건에서 절대 $0$이 될 수 없다.따라서 $$ \int_{-1}^{1}P_l(x)P_m(x)dx=0 $$

Case 2. $l=m$ 르장드르 다항식의 재귀관계 $(c)$에 의해 $$ lP_{l}(x) = xP'_{l}(x) - P'_{l-1}(x) $$ 양변에 $P_{l}(x)$를 곱하고 적분하면 $$ l\int_{-1}^{1}[P_{l}(x)]^{2} dx= \int_{-1}^{1}xP_{l}(x)P'_{l}(x)dx -\int_{-1}^{1} P_{l}(x)P'_{l-1}(x)dx $$ $P'_{l-1}(x)$는 $l-2$차 다항식이고, 르장드르 다항식은 자신보다 차수가 낮은 다항식과 직교하므로 우변의 마지막항은 $0$이다. 우변의 첫째항은 부분적분으로 풀 수 있다. $$ \begin{align*} \int_{-1}^{1}xP_{l}(x)P'_{l}(x)dx &= \int_{-1}^{1}\frac{ x}{2}[2P_{l}(x)P'_{l}(x)]dx \\ &= \frac{ x}{2}[P_{l}(x)]^{2}\bigg|_{-1}^{1}-\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}[P_{l}(x)]^{2}dx \\ &= 1-\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}[P_{l}(x)]^{2}dx \end{align*} $$ 세번째 다항식은 $P_{l}(1)=1$에 의해 성립한다. 르장드르 다항식은 르장드르 미분 방정식의 해 중에서 $P_{l}(1)=1$를 만족하도록 상수를 조절해준 해를 말한다. 따라서 정리하면 $$ \begin{align*} &&&l\int_{-1}^{1}[P_{l}(x)]^{2} dx=1-\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}[P_{l}(x)]^{2}dx \\ \implies &&&\int_{-1}^{1}[P_{l}(x)]^{2}dx=\frac{2}{2l+1} \end{align*} $$

두 경우를 합쳐서 적으면 $$ \int_{-1}^{1}P_{l}(x)P_{m}(x)dx=\frac{2}{2l+1}\delta_{lm} $$

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