리만(-스틸체스) 적분가능할 필요충분조건

리만(-스틸체스) 적분가능할 필요충분조건

해당 글은 리만-스틸체스 적분을 기준으로 작성되었다. $\alpha=\alpha(x)=x$로 두면 리만 적분과 같다.

정리1

함수 $f$가 $[a,b]$에서 리만(-스틸체스) 적분가능할 필요충분조건은 모든 $\epsilon >0$에 대하여 $U(P,f,\alpha) - L(P,f,\alpha) < \epsilon$을 만족시키는 $[a,b]$의 분할 $P$가 존재하는 것이다.

$$ \begin{equation} f \in \mathscr{R} (\alpha) \text{ on } [a,b] \\ \iff \forall\epsilon >0, \exists P\text{ s.t. } U(P,f,\alpha) - L(P,f,\alpha) < \epsilon \label{iff} \end{equation} $$


적분가능함을 보일 때 실질적으로 쓰게되는 조건이다.

증명

증명에 앞서 다음과 같이 주어졌다고 하자.


따름정리2

증명

(a)

$P^{\ast}$를 $P$의 세분이라고 하자. 그러면 세분의 성질에 의해 다음이 성립한다.

$$ U(P^{\ast},f,\alpha) -L(P^{\ast},f,\alpha)<U(P,f,\alpha) -L(P,f,\alpha) <\varepsilon $$

따라서 (a) 가 성립한다.

(b)

$x\in[x_{i-1},x_{i}]$에 대해서 다음과 같이 두자.

$$ M_{i}=\sup f(x) \quad \text{and} \quad m_{i}=\inf f(x) $$

그러면 모든 $s_{i},t_{i}\in [x_{i-1},x_{i}]$에 대해서 다음이 성립한다.

$$ \left| f(s_{i})-f(t_{i}) \right| < M_{i}-m_{i},\quad i=1,\cdots,n $$

따라서 상합, 하합의 정의에 의해 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} \sum \limits _{i=1} ^{n} \left| f(s_{i})-f(t_{i}) \right| \Delta \alpha_{i} &< \sum \limits _{i=1} ^{n}(M_{i}-m_{i})\Delta \alpha_{i} \\ &=U(P,f,\alpha)-L(P,f,\alpha) \\ &< \varepsilon \end{align*} $$

(c)

위 증명에서 썼던 표기법을 계속 사용하자. 상합, 하합의 정의에 의해 아래의 식이 성립함은 자명하다.

$$ L(P,f,\alpha) \le \sum \limits _{i=1} ^{n} f(t_{i})\Delta \alpha_{i} \le U(P,f,\alpha) $$

또한 적분의 정의에 의해 아래의 식도 자명하게 성립한다.

$$ L(P,f,\alpha) \le \int _{a} ^{b} f(x)d\alpha(x) \le U(P,f,\alpha) $$

따라서 위의 두 식에 의해 다음이 성립한다.

$$ \left| \sum \limits _{i=1} ^{n} f(t_{i})\Delta \alpha_{i} - \int _{a} ^{b}f (x)d\alpha(x) \right| < \varepsilon $$


  1. Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976), p124-125 ↩︎

  2. Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976), p125 ↩︎

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