변형 베셀 방정식과 변형 베셀 함수 📂수리물리

변형 베셀 방정식과 변형 베셀 함수

the modified bessel equation and the modified bessel functions


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아래의 미분 방정식을 변형 베셀 방정식 이라 한다. $$ x^2 y^{\prime \prime} + xy^{\prime}-(x^2-\nu^2)y=0 $$

베셀 방정식에서 $y$항의 부호가 $+ \rightarrow -$로 바뀐 형태이다. 이 미분 방정식의 해는 베셀 방정식이 해인 미분 방정식의 공식에 의해 $$ y=Z_{\nu}(ix)=AJ_{\nu}(ix)+BN_{\nu}(ix) $$ 이다. 일반적으로 사용하는 두 해의 꼴은 다음과 같으며 변형 베셀 함수 $(\mathrm{modified\ Bessel\ function})$라 부른다. 특히 $I_{\nu}$를 제1 종 변형 베셀 함수$(\mathrm{modified\ Bessel\ function of\ the\ first\ kind})$, $K_{\nu}$를 제2 종 변형 베셀 함수$(\mathrm{modified\ Bessel\ function of\ the\ second\ kind})$라 한다. $$ \begin{align*} I_{\nu}(x)&=i^{-\nu}J_{\nu}(ix) \\ K_{\nu}(x) &= \frac{\pi}{2}i^{\nu+1}\left[ J_{\nu}(ix)+iN_{\nu}(ix) \right] \\ &= \frac{\pi}{2}i^{\nu+1}H_{p}^{(1)}(ix) \\ &=\frac{\pi}{2}\frac{I_{-\nu}(x)-I_{\nu}(x)}{\sin (\nu\pi )} \end{align*} $$ $H_{\nu}^{(1)}(x)$는 한켈 함수이다. 앞에 $i$가 곱해진 이유는 실수 $x$에 대해서 $I_{\nu}(x)$, $K_{\nu}(x)$의 값이 실수가 되게 하기 위함이다. 이런 상황은 $y^{\prime \prime}+y=0$의 해가 $\cos x$, $\sin x$이고, $y^{\prime \prime}-y=0$의 해가 $\cosh x=\cos (ix)$, $\sinh (x)=\sin (ix)$인 것과 비슷하다. 방정식의 이러한 특성으로 인해 $I_{\nu}$, $K_{\nu}$ 쌍곡 베셀 함수$(\mathrm{hyperbolic\ Bessel\ function})$ 라고도 불린다.

적분 꼴

2010년 Olver 등에 의해 다음과 같은 적분 꼴이 알려졌다. 1

$$ I_{\nu} (z) = {{ \left( {{ z } \over { 2 }} \right)^{\nu} } \over { \sqrt{\pi} \Gamma \left( \nu + {{ 1 } \over { 2 }} \right) }} \int_{-1}^{1} e^{zt} \left( 1 - t^{2} \right)^{\nu - {{ 1 } \over { 2 }}} dt $$

이러한 변형 베셀 함수는 수리 물리학이 아니더라도 방향 통계학 등에서 아주 중요하게 쓰이고 있으며, 공간통계분석에서 세미배리오그램의 무난한 선택지 중 하나인 마테른Matérn 함수에서도 등장한다.


  1. Sungkyu Jung. “Geodesic projection of the von Mises–Fisher distribution for projection pursuit of directional data.” Electron. J. Statist. 15 (1) 984 - 1033, 2021. https://doi.org/10.1214/21-EJS1807 ↩︎

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