맥시멀 정리

맥시멀 정리

정리1

모든 $f \in L^1_{\mathrm{loc}}$와 모든 $\alpha >0$에 대해서 아래의 조건을 만족하는 상수 $C>0$가 존재한다.

$$ \mu \big( \left\{ x\ :\ Hf(x)>\alpha \right\}\big) \le \frac{C}{\alpha} \int |f(y)| dy $$

위 부등식을 하디-리틀우드 맥시멀 부등식the Hardy-Littlewood maximal inequality이라 한다.

하디-리틀우드 맥시멀 함수

$$ Hf (x) = \sup \limits_{r>0} A_r |f|(x) = \sup \limits_{r>0} \frac{1}{\mu \big( B(r,x) \big)}\int_{B(r,x)}|f(y)|dy $$

증명

$E_\alpha =\left\{ x\ |\ Hf(x) > \alpha \right\}$라고 하자. 그러면 $Hf$의 정의에 의해 어떤 $r$에 대해서 $A_r |f|(x) >\alpha$가 성립함을 알 수 있다. 이 $r$을 고정하고 $r_{x}$라 이름 붙이자. 이제 $\mathcal{B}=\left\{ B(r_{x},x)\ |\ x \in E_\alpha\right\}$, $U=\bigcup \nolimits_{B\in \mathcal{B}} B$라고 하자. 그러면 $U$는 $E_\alpha$의 커버이므로 $ c < \mu (E_\alpha) \le \mu (U)$이다.

맥시멀 보조정리

$\mathcal{B}$를 $\mathbb{R}^n$에서의 오픈 볼들의 컬렉션이라고 하자. $U=\bigcup \limits_ { B\in \mathcal{B}} B$라고 하자. 그러면 어떤 $c <m (U)$에 대해서, 아래의 조건을 만족하는 유한개의 서로소인 $B_j \in \mathcal{B}$가 존재한다. $$ \sum \limits_ {j=1}^k \mu (B_j) >3^{-n} c $$

맥시멀 보조정리에 의해, 각각의 $x_{1},\cdots,x_k \in X_\alpha$에 대해 아래의 식을 만족하는 유한개의 오픈 볼 $B_j=B(r_{x_j},x_j)$가 존재한다.

$$ \sum \limits_1^k m (B_j) > \frac{1}{3^n}c $$

이제 $x_j$를 고정하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$ A_{r_{x_j}}|f|(x_j)=\frac{1}{m(B_j)}\int_{B_j} |f|(y)dy >\alpha \\ \implies m (B_j) < \frac{1}{\alpha} \int_{B_j}|f|(y)dy $$

따라서 다음을 얻는다.

$$ \begin{align*} c < 3^n \sum \limits_1^k m (B_j) &\le \frac{3^n}{\alpha} \sum\limits_1^k \int_ {B_j} |f(y)|dy \\ &\le \frac{3^n}{\alpha}\int_{\mathbb{R}^n}|f(y)|dy \\ &= \frac{3^n}{\alpha} | f|_{L^1} \end{align*} $$

여기에 극한 $c \nearrow m (E_\alpha)$를 취하면 증명 완료.


  1. Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (2nd Edition, 1999), p96 ↩︎

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