맥시멀 보조정리

맥시멀 보조정리

정리1

$\mathcal{B}$를 $\mathbb{R}^n$에서의 오픈 볼들의 컬렉션이라고 하자. $U=\bigcup \limits_ { B\in \mathcal{B}} B$라고 하자. 그러면 어떤 상수 $c <m (U)$에 대해서, 아래의 조건을 만족하는 유한개의 서로소인 $B_j \in \mathcal{B}$가 존재한다.

$$ \sum \limits_ {j=1}^k \mu (B_j) >3^{-n} c $$

이때 $m$은 $n$차원 르벡 측도이다.

증명

우선 $c< m (K) \le m (U)$를 만족하는 컴팩트 집합 $K \subset U$가 존재한다2. 그러면 컴팩트의 정의에 의해서 $K$의 서브 커버 $\left\{ A_i \right\}_1^l$가 존재한다. 이제 이 중에서 가장 큰3 것을 $B_1$이라 하자. $B_1$과 서로소인 $A_i$ 중에서 가장 큰 것을 $B_2$라고 하자. 그리고 $B_1$, $B_2$와 서로소인 $A_i$ 중에서 가장 큰 것을 $B_3$라고 하자. 이런식으로 유한 컬렉션 $\left\{ B_j \right\}$를 구성할 수 있다.

$\left\{ B_j \right\}$에 속하지 못한 $A_i$에 대해서 $A_i \cap B_j \ne \varnothing$를 만족하는 $j$가 존재한다. 또한 그러한 $j$들 중에서 제일 작은 $j$에 대해서4, $A_i$의 반지름은 커봐야 $B_j$이다. 즉, $B_j$의 반지름보다 클 수 없다. 만약 그렇다면 $\left\{ B_j\right\}$를 구성할 때 $A_i$가 $B_j$의 이름을 가져갔을 것이다5.

이제 $B^{\ast}_j$를 $B_j$와 중심이 같으면서 반지름이 3배인 오픈 볼이라고 하자. 그러면 $A_i$는 $B_j$보다 반지름이 크지않고, $B_j$와의 겹치므로 반드시 $B^{\ast}_j$에 포함된다. 따라서 $K \subset \bigcup A_j \subset \bigcup B^{\ast}_j$이다.

$$ \begin{align*} c < m (k) &< m \left( \bigcup \nolimits_1^k B^{\ast}_j\right) \\ &= \sum \limits_1^k m (B^{\ast}_j) \\ &= \sum \limits_1^m c^{-3n} m (B^{\ast}_j) \end{align*} $$

정의

모든 유계인 가측 집합 $K \subset \mathbb{R}^n$에 대해서,

$$ \int_K |f(x)|dx<\infty $$

를 만족하는 함수 $f\ :\ \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{C}$를 (르벡 측도에 대하여) 국소 적분가능하다locally integrable고 말하고, 국소 적분가능한 함수들의 집합을 $L^{1}_{\mathrm{loc}}$와 같이 표기한다.

$f \in L^1_{\mathrm{loc}}$, $ x\in \mathbb{R}^n$, $r>0$이라고 하자. 중심이 $x$이고 반지름이 $r$인 오픈 볼을 $B(r,x)=B_r(x)$와 같이 나타내자. 그러면 $B_{r}(x)$위에서 $f$의 함숫값의 평균 $A_rf(x)$를 다음과 같이 정의한다.

$$ A_r f(x) := \frac{1}{m \big( B_{r}(x) \big)} \int _{B_{r}(x)}f(y)dy $$

$A_r$을 평균 작용소averaging operator라고 한다.


  1. Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (2nd Edition, 1999), p95-96 ↩︎

  2. 받아들이고 넘어가자. ↩︎

  3. 반지름이 가장 큰 ↩︎

  4. 인덱스가 제일 작은 $B_{j}$가 반지름은 제일 크다. ↩︎

  5. 원을 몇 개 겹쳐서 그려보면 이해하기 쉽다. ↩︎

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