몫 공간으로의 사상 📂선형대수

몫 공간으로의 사상

The Map to Quotient Space

정리1

$V$를 벡터공간, $W \le V$를 부분공간이라고 하자. 함수 $\eta$를 다음과 같이 정의하자.

$$ \begin{align*} \eta : V &\to V/W \\ v &\mapsto v + W \end{align*} $$

이때 $V/W$는 $V$의 몫 공간이다. 그러면

설명

차원에 관한 결과 $(1)$은 다른 증명으로도 얻을 수 있다.

증명

다음이 성립하므로 $\eta$는 선형변환이다.

$$ \begin{align*} \eta(av + u) &= (av + u) + W \\ &= (av + W) + (u + W) \\ &= a(v + W) + (u + W) \\ &= a\eta(v) + \eta(u) \\ \end{align*} $$

$V/W$의 영벡터는 $W$이다. 임의의 $w \in W$에 대해서 $w + W = W$이므로, $N(\eta) = W$이다. 또한 임의의 $v + W \in V/W$에 대해서 $v \in V$가 존재하므로, $\eta$의 치역은 $R(\eta) = V/W$이다. 그러면 차원정리에 의해서,

$$ \begin{align*} &&\rank(\eta) + \nullity(\eta) &= \dim(V) \\ \implies &&\dim(R(\eta)) + \dim(N(\eta)) &= \dim(V) \\ \implies &&\dim(V/W) + \dim(W) &= \dim(V) \\ \end{align*} $$


  1. Stephen H. Friedberg, Linear Algebra (4th Edition, 2002), p79 ↩︎

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