구면좌표계에서 각운동량의 사다리 연산자

구면좌표계에서 각운동량의 사다리 연산자


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구면좌표계에서 두 사다리 연산자의 곱 $L_{+} L_{-}$의 곱은 다음과 같다. $$ L_{+}L_{-}=-\hbar ^{2} \left( \frac{ \partial ^{2}}{ \partial \theta ^{2} } + \cot \theta \frac{ \partial }{ \partial \theta }+\cot ^{2}\theta \frac{ \partial ^{2}}{ \partial \phi^{2} } +i\frac{ \partial }{ \partial \phi}\right) $$

단순 계산이라 풀이가 어려운 것은 아니나 식이 복잡하고 길어 실수하기 쉬우므로 꼼꼼하게 풀 필요가 있다. 또한 $L_{\pm}$는 미분연산자이므로 푸는 과정에서 주의해야 한다.

증명

깔끔함을 위해서 미분 표기를 아래와 같이 하겠다. $$ \frac{ \partial }{ \partial x}=\partial_{x},\quad \frac{\partial f}{ \partial x}=f_{x},\quad \partial_{x}f=f_{x},\quad \frac{ \partial^{2} f }{\partial x^{2} }=f_{xx} $$ 구면좌표계에서 사다리 연산자는 각각 다음과 같다. $$ L_{\pm}=\pm \hbar e^{\pm i \phi}\left( \partial_{\theta} \pm i\cot \theta \partial_{\phi } \right) $$ 여기서 $L_{+}L_{-}$는 위의 두 식을 곱해서 구하면 된다고 생각하기 쉽지만 그렇지 않다. 미분이 포함되어있어서 그렇게 단순하게 풀이지지는 않는다. 우선 $L_{-}\psi$부터 구해보면 $$ \begin{align*} L_{-}\psi =&\ -\hbar e^{-i\phi} ( \partial_{\theta} -i\cot \theta \partial _{\phi} ) \psi \\ =&\ -\hbar (e^{-i\phi} \psi _{\theta}-i\cot\theta \psi_{\phi}) \end{align*} $$ 여기에 $L_{+}$를 적용하면 $$ \begin{align*} L_{+}L_{-}\psi =&\ \hbar e^{i\phi}\left( \partial_{\theta}+i\cot \theta \partial_{\phi} \right)\left[ -\hbar \left(e^{-i\phi}\psi_{\theta}-ie^{-i\phi}\cot\theta\psi_{\phi} \right) \right] \\ =&\ -\hbar^{2} e^{i\phi}\left[ \partial_{\theta}\left(e^{-i\phi}\psi_{\theta}\right)+\partial_{\theta}\left(-ie^{-i\phi}\cot\theta\psi_{\phi} \right)+i\cot \theta \partial_{\phi}\left( e^{-i\phi} \psi_{\theta}\right)+i\cot\theta\partial_{\phi}\left(-ie^{-i\phi}\cot\theta\psi_{\phi} \right) \right] \end{align*} $$ 한 번에 다 쓰기엔 길고 복잡하므로 미분항을 하나씩 풀어보자. $$ \partial_{\theta}(e^{-i\phi}\psi_{\theta})=e^{-i\phi}\psi_{\theta \theta } $$

$$ \begin{align*} \partial_{\theta}\left(-ie^{-i\phi}\cot\theta\psi_{\phi} \right) =-ie^{-i\phi}\csc^{2}\theta\psi_{\phi}-ie^{-i\phi}\cot\theta\psi_{\phi\theta} \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} i\cot \theta \partial_{\phi}\left( e^{-i\phi} \psi_{\theta}\right) =&\i\cot\theta(-ie^{-i\phi}\psi_{\theta})+i\cot\theta e^{-i\phi}\psi_{\theta\phi} \\ =&\ \cot\theta e^{-i\phi}\psi_{\theta}+i\cot\theta e^{-i\phi}\psi_{\theta\phi} \tag{2} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} i\cot\theta\partial_{\phi}\left(-ie^{-i\phi}\cot\theta\psi_{\phi} \right) =&\ i\cot \theta \left( -i(-i)e^{-i\phi}\cot\theta\psi_{\phi} \right)+i\cot\theta \left( -ie^{-i\phi}\cot\theta \psi_{\phi\phi} \right) \\ =&\ -i\cot^{2} \theta e^{-i\phi}\psi_{\phi} +\cot^{2}\theta e^{-i\phi} \psi_{\phi\phi} \tag{3} \end{align*} $$ 여기서 $(1)$의 두번째 항과 $(2)$의 두번째 항은 서로 상쇄된다. 또한 $(1)$의 첫번째항과 $(3)$의 첫번째 항을 더해보면 $$ \begin{align*} -ie^{-i\phi}\csc^{2}\theta \psi_{\phi}-i\cot^{2}\theta e^{-i\phi}\psi_{\phi} =&\ -ie^{-i\phi}\left( \csc^{2}\theta + \cot^{2} \theta \right)\psi_{\phi} \\ =&\ -ie^{-i\phi}\left( \frac{1}{\sin^{2}\theta}+\frac{\cos ^{2} \theta }{\sin ^{2}\theta} \right)\psi_{\phi} \\ =&\ -ie^{-i\phi}\left( \frac{-\sin ^{2}\theta}{\sin^{2}\theta} \right)\psi_{\phi} \\ =&\ie^{-i\phi}\psi_{\phi} \end{align*} $$ 위 결과들을 원래 식에 대입하면 $$ \begin{align*} L_{+}L_{-}\psi =&\ -\hbar^{2} e^{i\phi}\left[ e^{-i\phi}\psi_{\theta \theta }+\cot\theta e^{-i\phi}\psi_{\theta} +\cot^{2}\theta e^{-i\phi}\psi_{\phi\phi}+ie^{-i\phi }\psi_{\phi} \right] \\ =&\ -\hbar^{2}\left( \frac{ \partial ^{2}}{ \partial \theta ^{2} } + \cot \theta \frac{ \partial }{ \partial \theta }+\cot ^{2}\theta \frac{ \partial ^{2}}{ \partial \phi^{2} } +i\frac{ \partial }{ \partial \phi}\right)\psi \end{align*} $$ 따라서 $$ L_{+}L_{-}=-\hbar ^{2} \left( \frac{ \partial ^{2}}{ \partial \theta ^{2} } + \cot \theta \frac{ \partial }{ \partial \theta }+\cot ^{2}\theta \frac{ \partial ^{2}}{ \partial \phi^{2} } +i\frac{ \partial }{ \partial \phi}\right) $$

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