이산 푸리에 역변환

이산 푸리에 역변환

공식1

$\mathbf{a} = (a_{0}, a_{1}, \dots, a_{N-1}) \in \mathbb{C}^{N}$의 이산 푸리에 변환을 $\hat{\mathbf{a}} = (\hat{a}_{0}, \hat{a}_{1}, \dots, \hat{a}_{N-1}) \in \mathbb{C}^{N}$라고 하자.

$$ \mathcal{F}_{N}(\mathbf{a}) = \hat{\mathbf{a}},\quad \hat{a}_{m}=\sum_{n=0}^{N-1}e^{-i2\pi mn /N}a_{n} $$

그러면 다음이 성립한다.

$$ a_{n} = \dfrac{1}{N} \sum \limits_{m=0}^{N-1} e^{i 2 \pi m n / N} \hat{a}_{m} $$

설명

이를 이산 푸리에 변환의 역변환 공식이라 한다.

증명

보조정리

$m = 0, 1, \dots, N-1$에 대해서 다음과 같이 두자.

$$ \mathbf{e}_{m} = \left( 1, e^{i 2\pi m/N}, e^{i 2\pi 2m/N}, \dots, e^{i 2\pi (N-1)m/N} \right) $$

그러면 $\left\{ \mathbf{e}_{m} \right\}_{m=0}^{N-1}$은 $\mathbb{C}^{N}$의 기저이고, $\left\| \mathbf{e}_{m} \right\|^{2} = N$이다.

보조정리에 따라, 임의의 $\mathbf{a} \in \mathbb{C}^{N}$에 대해 다음이 성립한다.

$$ \mathbf{a} = \dfrac{1}{N} \sum _{m=0}^{N-1} \left\langle \mathbf{a}, \mathbf{e}_{m} \right\rangle \mathbf{e}_{m} $$

내적 $\left\langle \mathbf{a}, \mathbf{e}_{m} \right\rangle$을 계산하면, 이산 푸리에 변환의 정의에 의해, 다음과 같다.

$$ \left\langle \mathbf{a}, \mathbf{e}_{m} \right\rangle = \sum _{n=0}^{N-1} a_{n}e^{i 2\pi nm/ N} = \hat{a}_{m} $$

이를 위 식에 대입하면 다음을 얻는다.

$$ \mathbf{a} = \dfrac{1}{N} \sum _{m=0}^{N-1} \hat{a}_{m} \mathbf{e}_{m} $$

$$ a_{n} = \dfrac{1}{N} \sum _{m=0}^{N-1} e^{i 2\pi m n / N} \hat{a}_{m} $$


  1. Gerald B. Folland, Fourier Analysis and Its Applications (1992), p251-252 ↩︎

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