해석학에서 역함수 정리

해석학에서 역함수 정리

The Inverse Function Theorem in Analysis

정리1

열린 집합 $E$에서 정의된 함수 $\mathbf{f} : E \subset \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$이 $C^{1}-$함수라고 하자. $\mathbf{a} \in E$에 대해서, $\mathbf{f}^{\prime}(\mathbf{a})$가 가역이고 $\mathbf{b} = \mathbf{\mathbf{a}}$라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

(a) $\mathbf{a} \in U, \mathbf{b} \in V$이고, $U$위에서 $\mathbf{f}$가 일대일이며 $\mathbf{f}(U) = V$인 열린 집합 $U, V \subset \mathbb{R}^{n}$가 존재한다.

(b) 만약 $\mathbf{g}$가 $\mathbf{f}$의 역함수이고(a)에 의해 존재성은 보장된다,

$$ \mathbf{g}\left( \mathbf{\mathbf{x}} \right),\quad \mathbf{x}\in U $$

와 같으면, $\mathbf{g} \in C^{1}(V)$이다.

설명

정의역과 공역의 차원이 $n$으로 같은 것이 핵심이다.

(a): 전단사 축소사상 $\mathbf{f}|_{U}$가 존재한다는 말이다.

같이보기


  1. Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976), p221-223 ↩︎

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