르장드르 다항식의 생성 함수

르장드르 다항식의 생성 함수


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르장드르 다항식의 생성 함수는 아래와 같다. $$ \Phi (x,t)= \sum \limits_{l=0}^{\infty}P_{l}(x)t^{l}=\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^{2}}},\quad |t|<1 $$

르장드르 다항식의 생성 함수란 쉽게 말해서 르장드르 다항식 $P_{l}(x)$를 계수로 갖는 다항식이다.

**보조정리 생성함수 $\Phi (x,t)$는 아래의 미분 방정식을 만족한다. $$ (1-x^{2})\frac{ \partial ^{2} \Phi}{ \partial x^{2} }-2x\frac{ \partial \Phi}{ \partial x }+t\frac{ \partial ^{2}}{ \partial t^{2} }(t\Phi)=0\tag{1} $$

**생성함수로부터 유도된 르장드르 다항식의 재귀 관계

$$ lP_l(x)=(2l-1)xP_{l-1}(x)-(l-1)P_{l-2}(x) $$

**보조정리 증명 단순히 미분하고 더하는 것으로 쉽게 보일 수 있으므로 자세한 계산 과정과 설명은 생략한다. $$ \frac{ \partial \Phi}{ \partial x }=t(1-2xt+t^{2})^{-\frac{3 }{2}} $$

$$ \frac{ \partial ^{2}\Phi}{ \partial x^{2} }=3t^{2}(1-2xt+t^{2})^{-\frac{5 }{2}} $$

$$ \frac{ \partial }{ \partial t }(t\Phi)=(1-2xt+t^{2})^{-\frac{1}{2}}-(t^{2}-xt)(1-2xt+t^{2})^{-\frac{3 }{2}} $$

$$ \frac{ \partial ^{2}}{ \partial t^{2} }(t\Phi)=-(3t-2x)(1-2xt+t^{2})^{-\frac{3}{2}}+3(t^{3}-2xt^{2}+x^{2}t)(1-2xt+t^{2})^{-\frac{5}{2}} $$ 따라서 $$ \begin{align*} &(1-x^{2})\frac{ \partial ^{2} \Phi}{ \partial x^{2} }-2x\frac{ \partial \Phi}{ \partial x }+t\frac{ \partial ^{2}}{ \partial t^{2} }(t\Phi) \\ =&\ 3(t^{2}-x^{2}t^{2})(1-2xt+t^{2})^{-\frac{5 }{2}}-2xt(1-2xt+t^{2})^{-\frac{3 }{2}} \\ & -(3t^{2}-2xt^{2})(1-2xt+t^{2})^{-\frac{3}{2}}+3(t^{4}-2xt^{3}+x^{2}t^{2})(1-2xt+t^{2})^{-\frac{5}{2}} \\ =&-3t^{2}(1-2xt+t^{2})^{-\frac{3}{2}}+3t^{2}(1-2xt+t^{2})(1-2xt+t^{2})^{-\frac{5}{2}} \\ =&-3t^{2}(1-2xt+t^{2})^{-\frac{3}{2}}+3t^{2}(1-2xt+t^{2})^{-\frac{3}{2}} \\ =&\0 \end{align*} $$

본 내용 증명 우선 $\Phi(x,t)$가 $\Phi(x,t)=f_{0}(x)+tf_{1}(x)+\cdots$꼴로 나타남을 보인 후 $f_{l}(x)$가 르장드르 다항식임을 보일 것이다. $2xt-t^{2}=y$라고 치환하여 급수전개를 하면 $$ \begin{align} \Phi(y) &=(1-y)^{-\frac{1}{2}} \\ &=1+\frac{1}{2}y+\frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2} }{2!}y^{2}+\cdots \\ &= 1+\frac{1}{2}(2xt-t^{2})+\frac{3}{8}(2xt-t^{2})^{2}+\cdots \\ &= 1+xt-\frac{1}{2}t^{2}+\frac{3}{8}(4x^{2}t^{2}-4xt^{3}+t^{4})+\cdots \\ &= 1+tx+t^{2}\left(\frac{3}{2}x^{2}-\frac{1}{2}\right)+\cdots \\ &= f_{0}(x)+tf_{1}(x)+t^{2}f_{2}(x)+\cdots \\ &= \sum\limits_{l=0}^{\infty}t^{l}f_{l}(x) \end{align} $$ 이제 위의 급수를 보조정리의 $(1)$에 대입해보면 $$ (1-x^{2})\sum\limits_{l=0}^{\infty}t^{l}f^{\prime \prime}_{l}(x)-2x\sum\limits_{l=0}^{\infty}t^{l}f^{\prime}_{l}(x)+\sum\limits_{l=0}^{\infty}l(l+1)t^{l}f_{l}(x)=0 $$ 위 식은 $t$에 대한 항등식이므로 각각의 $t^{l}$의 계수는 모두 $0$어야 한다. 각각의 $l$에 대한 $t^{l}$의 계수는 아래와 같다. $$ (1-x^{2})f^{\prime \prime}_{l}(x)-2xf^{\prime}_{l}(x)+l(l+1)f_{l}(x)=0 $$ 위 미분 방정식은 르장드르 미분 방정식이고 그 해는 르장드르 다항식이다. 따라서 $f_{l}(x)=P_{l}(x)$이다.

재귀관계 증명 우선 $\Phi(x,t)$를 $t$에 대해서 미분하면 $$ \begin{align} &&& \frac{ \partial \Phi}{ \partial t }=-\frac{1}{2}(-2x+2t)(1-2xt+t^{2})^{-\frac{3}{2}} \\ \implies &&& (1-2xt+t^{2})\frac{ \partial \Phi}{ \partial t}=(x-t)\Phi \end{align} $$ 이제 $\Phi(x,t)=\sum \limits_{l=0}^{\infty}t^{l}P_{l}(x)$를 위 식에 대입하면 $$ (1-2xt+t^{2})\sum \limits _{l=1}^{\infty}lt^{l-1}P_{l}(x)=(x-t)\sum\limits_{l=0}^{\infty}t^{l}P_{l}(x) $$ 인덱스를 맞춰주면 $$ (1-2xt+t^{2})\sum \limits _{l=0}^{\infty}(l+1)t^{l}P_{l+1}(x)=(x-t)\sum\limits_{l=0}^{\infty}t^{l}P_{l}(x) $$ 위 식은 $t$에 대한 항등식이므로 각각의 $l$에 대해서 좌우변의 $t^{l}$의 계수는 같아야한다. 따라서 $t^{l}$의 계수를 비교해보면 $$ 1 [(l+1)t^{l}P_{l+1}(x)] -2xt[(l)t^{l-1}P_{l}(x)]+t^{2}[(l-1)t^{l-2}P_{l-1}(x)]=x [t^{l}P_{l}(x)]-t[t^{l-1}P_{l-1}(x)] $$

$$ \implies (l+1)t^{l}P_{l+1}(x) -2xlt^{l}P_{l}(x)+(l-1)t^{l}P_{l-1}(x)=x t^{l}P_{l}(x)-t^{l}P_{l-1}(x) $$

$$ \implies (l+1)P_{l+1}(x) -2xlP_{l}(x)+(l-1)P_{l-1}(x)=x P_{l}(x)-P_{l-1}(x) $$ 여기서 $l$ 대신 $l-1$을 대입하면 $$ lP_{l}(x) -2x(l-1)P_{l-1}(x)+(l-2)P_{l-2}(x)=x P_{l-1}(x)-P_{l-2}(x) $$ 좌변을 $P_{l}(x)$에 대해서 정리하면 $$ lP_{l}(x) =(2l-1)x P_{l-1}(x)-(l-1)P_{l-2}(x) $$

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