에르미트 다항식의 생성 함수

에르미트 다항식의 생성 함수

the generating function of hermite polynomial


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에르미트 다항식의 생성 함수는 아래와 같다. $$ \Phi (x,t)=\sum \limits _{n=0}^{\infty} \frac{H_{n}(x)}{n!}t^{n}= e^{2xt-t^{2}} $$ $H_{n}(x)$는 에르미트 다항식이며 에르미트 함수 $y_{n}=e^{\frac{x^{2}}{2}}\frac{ d ^{n} }{ d x^{n} }e^{-x^{2}}$에 $(-1)^{n}e^{\frac{x^{2}}{2}}$를 곱해서 얻거나 에르미트 미분 방정식을 풀어서 얻을 수 있다. $$ H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}\frac{ d ^{n}}{ dx^{n} }e^{-x^{2}} $$

에르미트 다항식의 생성함수란 쉽게 말해서 에르미트 다항식을 계수로 갖는 다항식이다.

유도 과정

$f(x)=e^{-x^{2}}$라고 하자. 그러면 $$ f^{(n)}(x)=\frac{ d ^{n}}{ d x^{n} }e^{-x^{2}}=(-1)^{n}e^{-x^{2}}H_{n}(x) \tag{1} $$ 그리고 테일러 급수에 의해서 $$ f(x)=\sum \limits _{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n} $$ 여기서 $x-a=t$, $a=y$로 치환하면 $$ f(y+t) = \sum \limits _{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(y)}{n!}t^{n} $$ 다시 $y$를 $x$라 두고 여기에 $(1)$을 대입하면 $$ f(x+t)=\sum \limits _{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(y)}{n!}t^{n}=\sum \limits _{n=0}^{\infty}(-1)^{n}e^{-x^{2}}\frac{t^{n}}{n!}H_{n}(x) $$ 이제 $t$대신 $-t$를 대입하면 $$ \begin{align*} f(x-t) &=\sum \limits _{n=0}^{\infty}e^{-x^{2}}\frac{t^{n}}{n!}H_{n}(x) \\ &= e^{-(x-t)^{2}}=e^{-x^{2}+2xt-t^{2}} \end{align*} $$ 정리하면 $$ e^{-x^{2}+2xt-t^{2}} = \sum \limits _{n=0}^{\infty}e^{-x^{2}}H_{n}(x)\frac{t^{n}}{n!} $$ 이제 양변에 $e^{x^{2}}$를 곱하면 원하는 식을 얻는다. $$ e^{2xt-t^{2}} = \sum \limits _{n=0}^{\infty}H_{n}(x)\frac{t^{n}}{n!} $$

또한 에르미트 다항식의 생성 함수는 아래의 미분 방정식을 만족한다. $$ \frac{ \partial^{2} \Phi}{ \partial x^{2}}-2x\frac{ \partial \Phi}{ \partial x}+2t\frac{ \partial \Phi}{ \partial t }=0 $$

증명 $\Phi(x,t)=e^{2xt-t^{2}}$을 대입하면 $$ \begin{align} &\frac{ \partial^{2} \Phi}{ \partial x^{2}}-2x\frac{ \partial \Phi}{ \partial x}+2t\frac{ \partial \Phi}{ \partial t } \\ &= 4t^{2}e^{2xt-t^{2}}-4xte^{2xt-t^{2}}+2t(2x-2t)e^{2xt-t^{2}} \\ &=0 \end{align} $$

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