물리학에서의 감마함수

물리학에서의 감마함수

the gamma function in physics


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수학에서의 감마함수

감마함수 $\Gamma(p)$는 아래와 같이 정의된다. $$ \Gamma(p)=\int_{0}^{\infty} t^{p-1}e^{-t}dt $$

딱 봐도 이상하고 어렵게 생겨먹은 이 함수는 팩토리얼을 일반화하기 위해 고안되었다. 알다시피 팩토리얼은 $0$을 포함한 자연수 $n$에 대해서 성립하는 연산이다. 오일러는 이 팩토리얼이라는 연산을 자연수를 넘어 실수까지 확장하고 싶었다. 그래서 찾아낸 함수가 바로 감마함수이다. 팩토리얼의 일반화라는 말은 $p$가 자연수일 때는 위의 적분값이 팩토리얼과 같아진다는 말이다. 다시말해 자연수 $p$에 대해서 $$ \Gamma(p)=(p-1)! $$ 가 성립한다. 감마함수는 물리학은 물론이고 수학, 통계학에서도 아주 중요한 함수이다. 물론 그 자체로 중요하면서도 여러 어려운 적분을 쉽게 만들어주는 유용함도 가지고 있다. 다만 학부 물리학을 공부하는 사람이라면 감마함수에 대해서 이보다 더 깊게 알 필요까지는 없다(학구적인 욕심이 있다면 여기여기를 참고하면 좋다). 따라서 본 글에서는 자세한 설명은 생략하고 중요한 부분을 소개하는 정도로만 그치려고 한다. 증명 과정이 궁금하거나 자세한 설명이 필요하면 링크를 참고하라.학부 물리학을 공부하면서 감마함수를 만날 수 있는 곳은 다음과 같다.

레일리-진스 법칙 : 에너지 분포가 볼츠만 분포를 따른다고 할 때 평균 흑체 복사 에너지를 계산할 때 사용한다.스털링 근사베셀 함수

$p$의 범위에 따른 감마함수

$p>-1$일 때 $$ \Gamma (p+1)=p\Gamma(p) $$ $p$가 정수가 아닌 음수일 때 $$ \Gamma(p)=\frac{ 1 }{p } \Gamma(p+1) $$ $p=0,-1,-2,\cdots$일 때 $$ \Gamma(p)=\infty $$

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