제1 기본 형식, 리만 메트릭

제1 기본 형식, 리만 메트릭

빌드업

리만 메트릭이란 곡면 위의 곡선의 길이를 구하는 과정에서 나오는 개념이며, 그 과정은 다음과 같다.

$\boldsymbol{\alpha}(t)$를 단순 곡면 $\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}$ 위를 움직이는 정칙 곡선이라고 하자. $(u_{1}, u_{2})$를 $U$의 좌표라고 하자. 그러면 $\boldsymbol{\alpha}$는 다음과 같이 표현될 수 있다.

$$ \boldsymbol{\alpha}(t) = \mathbf{x}(u_{1}(t), u_{2}(t)) $$

이때 $a \le t \le b$에서의 $\boldsymbol{\alpha}$의 길이는 다음과 같이 정의된다.

$$ \int_{a}^{b} \left| \dfrac{d \boldsymbol{\alpha}}{d t} \right| dt $$

피적분함수를 풀어보면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \left| \dfrac{d \boldsymbol{\alpha}}{d t} \right| =&\ \sqrt{\left\langle \dfrac{d \boldsymbol{\alpha}}{d t} , \dfrac{d \boldsymbol{\alpha}}{d t} \right\rangle} \\ =&\ \sqrt{\left\langle \dfrac{d \mathbf{x}(u_{1}, u_{2})}{d t} , \dfrac{d \mathbf{x}(u_{1}, u_{2})}{d t} \right\rangle} \end{align*} $$

연쇄법칙에 의해

$$ \begin{align*} \left| \dfrac{d \boldsymbol{\alpha}}{d t} \right| =&\ \sqrt{\left\langle \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u_{1}}\dfrac{d u_{1}}{dt} + \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u_{2}}\dfrac{d u_{2}}{dt}, \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u_{1}}\dfrac{d u_{1}}{dt} + \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u_{2}}\dfrac{d u_{2}}{dt} \right\rangle} \\ =&\ \sqrt{\left\langle \mathbf{x}_{1}\dfrac{d u_{1}}{dt} + \mathbf{x}_{2}\dfrac{d u_{2}}{dt}, \mathbf{x}_{1}\dfrac{d u_{1}}{dt} + \mathbf{x}_{2}\dfrac{d u_{2}}{dt} \right\rangle} \end{align*} $$

이때 $\mathbf{x}_{1} := \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u_{1}}, \mathbf{x}_{2} := \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u_{2}}$이다. 내적을 풀어내고 정리하면

$$ \begin{align*} & \left| \dfrac{d \boldsymbol{\alpha}}{d t} \right| \\ =&\ \sqrt{\left\langle \mathbf{x}_{1}\dfrac{d u_{1}}{dt} + \mathbf{x}_{2}\dfrac{d u_{2}}{dt}, \mathbf{x}_{1}\dfrac{d u_{1}}{dt} + \mathbf{x}_{2}\dfrac{d u_{2}}{dt} \right\rangle} \\ =&\ \sqrt{\left( \dfrac{d u_{1}}{dt} \right)^{2} \left\langle \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{1} \right\rangle + \dfrac{d u_{1}}{dt}\dfrac{d u_{2}}{dt} \left\langle \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \right\rangle + \dfrac{d u_{2}}{dt}\dfrac{d u_{1}}{dt} \left\langle \mathbf{x}_{2}, \mathbf{x}_{1} \right\rangle + \left( \dfrac{d u_{2}}{dt} \right)^{2} \left\langle \mathbf{x}_{2}, \mathbf{x}_{2} \right\rangle} \end{align*} $$

이때 위 식에서 내적을 $g_{ij} = \left\langle \mathbf{x}_{i}, \mathbf{x}_{j} \right\rangle$라고 표기하고, $\sum$으로 정리하면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \left| \dfrac{d \boldsymbol{\alpha}}{d t} \right| =&\ \sqrt{ \sum \limits_{i=1}^{2}\sum \limits_{j=1}^{2} g_{ij} \dfrac{d u_{i}}{dt}\dfrac{d u_{j}}{dt}} \\ =&\ \sqrt{ g_{ij} \dfrac{d u_{i}}{dt}\dfrac{d u_{j}}{dt}} \end{align*} $$

두번째 등호에서 아인슈타인 표기법으로 합기호를 생략했다.

정의1

$g_{ij} = \left\langle \mathbf{x}_{i}, \mathbf{x}_{j} \right\rangle$를 리만 메트릭의 계수the coefficient of the Riemannian metric 혹은 제1 기본형식the first fundamental form의 계수라고 한다.

$\mathbf{X}, \mathbf{Y}$를 곡면 $\mathbf{x}$의 탄젠트 공간 $T_{P}M$의 벡터라고 하자. 탄젠트 공간의 기저는 $\left\{ \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \right\}$이므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$ \mathbf{X} = X^{1}\mathbf{x}_{1} + X^{2}\mathbf{x}_{2} \quad \text{and} \quad \mathbf{Y} = Y^{1}\mathbf{x}_{1} + Y^{2}\mathbf{x}_{2} $$

다음과 같은 쌍선형 형식을 곡면 $\mathbf{x}$의 리만 메트릭Riemannian metric 혹은 제1 기본 형식the first fundamental form이라 정의한다.

$$ I (\mathbf{X}, \mathbf{Y}) = \sum \limits_{i=1}^{2} \sum \limits_{j=1}^{2} g_{ij}X^{i}Y^{j} = g_{ij}X^{i}Y^{j} = \begin{bmatrix} X^{1} & X^{2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} Y^{1} \\ Y^{2}\end{bmatrix} $$

계수들의 행렬 $\left[ g_{ij} \right]$의 행렬식을 $g$라고 표기한다.

$$ g := \det (\left[ g_{ij} \right]) = \begin{vmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22}\end{vmatrix} = g_{11}g_{22} - g_{12}g_{21} $$

행렬 $\left[ g_{ij} \right]$의 역행렬의 $(k,l)$성분을 $g^{kl}$이라고 표기한다.

$$ \begin{align*} \begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{pmatrix} ^{-1} =&\ \dfrac{1}{\det \left[ g_{ij} \right]} \begin{pmatrix} g_{22} & - g_{21} \\ g_{12} & g_{22} \end{pmatrix} = \dfrac{1}{g} \begin{pmatrix} g_{22} & - g_{21} \\ g_{12} & g_{22} \end{pmatrix} \\[1em] =&\ \begin{pmatrix}\dfrac{g_{22}}{g} & - \dfrac{g_{21}}{g} \\[1em] -\dfrac{g_{12}}{g} & \dfrac{g_{11}}{g} \end{pmatrix} \\[1em] =&\ \begin{pmatrix} g^{11} & g^{12} \\[1em] g^{21} & g^{22} \end{pmatrix} \end{align*} $$

설명

요즘은 제1 기본 형식이라는 말은 거의 쓰이지 않고, 리만 메트릭이라는 말만 주로 쓰인다고 한다. 메트릭이라는 이름이 붙은 것은 빌드업에서 보이듯이 곡면위의 곡선의 길이를 재는데 사용하기 때문이다.

$E = g_{11}$, $F=g_{21}=g_{12}$, $G=g_{22}$와 같은 표기도 많이 쓰인다.

곡선 이론에서는 나오지 않았던 리만 메트릭이라는 개념이 나온 이유는 탄젠트 공간의 기저 $\left\{ \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \right\}$가 일반적으로 정규 직교 기저가 아니기 때문이다. 정규직교기저이면 $g_{ij} = \delta_{ij}$이므로 의미가 없다. 여기서 $\delta$는 크로네커 델타를 의미한다. 리만 메트릭과 아인슈타인 표기법을 사용하여 곡면 위의 곡선 $\boldsymbol{\alpha}$의 길이를 나타내면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} L (\boldsymbol{\alpha}) =&\ \text{length of } \boldsymbol{\alpha} \\ =&\ \int_{a}^{b} \sqrt{ g_{ij} \dfrac{d u_{i}}{dt}\dfrac{d u_{j}}{dt}} dt \\ =&\ \int_{a}^{b} \sqrt{ g_{ij} \alpha_{i}^{\prime} \alpha_{j}^{\prime} } dt \\ =&\ \int_{a}^{b} \sqrt{ E\left( \dfrac{d u_{1}}{dt} \right)^{2} + 2F\dfrac{d u_{1}}{dt}\dfrac{d u_{2}}{dt} + G\left( \dfrac{d u_{2}}{dt} \right)^{2}} dt \end{align*} $$

곡면의 넓이 또한 리만 메트릭의 적분으로 정의된다.

$$ \text{area of } R = \iint _{Q} \sqrt{g} du_{1}du_{2} = \iint _{Q} \left| \mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2} \right| du_{1}du_{2} = \iint _{Q} \sqrt{EG-F^{2}} du_{1}du_{2} $$

성질

단순 곡면 $\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}$에 대해서,

(a) $g = \left| \mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2} \right|^{2}$

(b) $g^{11} = \dfrac{g_{22}}{g} \quad \text{and} \quad g^{12} = g^{21} = -\dfrac{g_{12}}{g} \quad \text{and} \quad g^{22} = \dfrac{g_{11}}{g}$

(c) $\forall i,j$, $\sum \limits_{k=1}^{2} g_{ik}g^{kj} = {\delta_{i}}^{j}$

이때 $\delta$는 크로네커 델타이다.

증명

(a)

외적의 성질과 리만 메트릭의 정의에 의해 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} \left| \mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2} \right|^{2} =&\ \left| \mathbf{x}_{1} \right|^{2} \left| \mathbf{x}_{2} \right|^{2} \sin ^{2} \theta \\ =&\ \left| \mathbf{x}_{1} \right|^{2} \left| \mathbf{x}_{2} \right|^{2}\left(1- \cos ^{2} \theta \right) \\ =&\ \left| \mathbf{x}_{1} \right|^{2} \left| \mathbf{x}_{2} \right|^{2}\left(1- \dfrac{\mathbf{x}_{1} \cdot \mathbf{x}_{2}}{\left| \mathbf{x}_{1} \right| \left| \mathbf{x}_{2} \right| } \right) \\ =&\ \left| \mathbf{x}_{1} \right|^{2} \left| \mathbf{x}_{2} \right|^{2} - \left( \mathbf{x}_{1} \cdot \mathbf{x}_{2} \right)^{2} \\ =&\ g_{11}g_{22} - g_{12}g_{21} \\ =&\ \det( [g_{ij}] ) \\ =&\ g \end{align*} $$

(b)

정의와 같다.

(c)

$[g^{kl}]$이 $[g_{ij}]$의 역행렬이므로 당연히 성립한다.

$$ \begin{align*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} =&\ \begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} g^{11} & g^{12} \\ g^{21} & g^{22} \end{pmatrix} \\[1em] =&\ \begin{pmatrix} g_{11}g^{11}+g_{12}g^{21} & g_{11}g^{12} + g_{12}g^{22} \\[1em] g_{21}g^{11} + g_{22}g^{21} & g_{21}g^{12} + g_{22}g^{22} \end{pmatrix} \end{align*} $$

같이보기


  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p93-96 ↩︎

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